中考压轴题分类专题四抛物线中的直角三角形
基本题型：
已知AB，抛物线yax2bxca0，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP为直角三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1）AB为斜边时（即PAPB）：点P在以AB为直径的圆周上。利用中点公式求出AB的中点M；利用圆的一般方程列出M的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。（2）AB为直角边时，分两类讨论：①以A为直角时（即APAB）：②以B为直角时（即BPBA）：利用两点的斜率公式求出kAB，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出PA（或PB）的斜率k；进而求出PA（或PB）的解析式；将PA（或PB）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。
所需知识点：
一、两点之间距离公式：
已知两点Px1y1Qx2y2，则由勾股定理可得：PQ
Q_
x1x22y1y22
。
O_
P_
G_
二、圆的方程：
点Pxy在⊙M上，⊙M中的圆心M为ab，半径为R。则PM
xa2yb2
R，得到方程☆：xa2yb2R2。
∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。
三、中点公式：
已知两点Px1y1Qx2y2，则线段PQ的中点M为
x1x2y1y2。22
四、任意两点的斜率公式：
已知两点Px1y1Qx2y2，则直线PQ的斜率：kPQ
y1y2。x1x2
1
f典型例题：
例一、如图，抛物线yaxbx3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，且OBOC3OA．
2
（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点PAC为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线y
1x1交y轴于D点，E为抛物线顶点．若DBC，3
CBE求的值．
2
f例2、
如图，一次函数yxm图像经过点A（1，，y轴于点B，为y轴负半轴上一点，BC2OB，0）交C且
过A、C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥轴x（1）求这条抛物线的解析式；（2）观察图像，写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围；（3）在题中的抛物线上是否存在一点M，使得ADM为直角？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由
3
f例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点Ar