20XX年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016年6月5日上午8301100一、填空题（每小题7分，共56分）
21、若ylog2016xax65的值域为R，那么a的取值范围是


．答案：
16a16．
解：由值域yR，xax651，xax640
22
a24640，16a16
2、四面体ABCD中，ABC是一个正三角形，ADBD2，ADBD，
ADCD，则D到面ABC的距离为
解：如图，据题意得，AB
．答案：
23．3
AD2BD222，
A
C
于是BCCAAB22，CD
222
AC2AD22，
因BCBDCD，得BDCD，从而以D为顶点的三面角是三直三面角，四面体体积V
D
B
143ADSBCD，而SABCAB223，334
若设D到面ABC的距离为h，则V
123234hSABCh，由h，3333
得到h
23．3
．答
3、若对于所有的正数xy，均有xyaxy，则实数a的最小值是
案：2．
yyxx解：由1，得2，xyxyxyxy
2
2
f当xy时取等号．
4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点，记APCBPD，则
ta
2ta
2
．答案：8．
Y
D
PO
C
解：如图建立直角坐标系，设圆方程为x2y2r2，则正方形顶点坐标为ArrBrrCrrDrr，A若点P的坐标为Prcosrsi
，于是直线
X
B
PAPBPCPD的斜率分别为
kPA1si
1si
1si
1si
kPBkPD，kPC，1cos1cos1cos1cos
22
kkPA2所以ta
PC4cossi
，1kPAkPCkkPB2ta
PD4cossi
，1kPBkPD
22
由此立得ta

2
ta
28．
解2：取特例，P在坐标轴上，则，这时，ta
cot
22ta
，ta
2ta
2222281
5、等差数列258
数是
2015与4914
2014的公共项（具有相同数值的项）的个
．答案：134．
解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列369
2016与等差数列
51015
2015的公共项个数；前者是M123
2016中的全体能被3整除
的数，后者是M中的全体能被5整除的数，故公共项是M中的全体能被15整除的数，这种数有
2016134个．15
f6、设x为锐角，则函r