直线与平面垂直的判定和性质（三）
1．已知P为△ABC所在平面外一点，点P在平面ABC上的射影为O．（1）若PAPBPC，则O是△ABC的________心；（2）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心；（3）若O在△ABC内，且P到△ABC三边的距离相等，则O为△ABC的________心；（4）若PA⊥BC，PB⊥CA，则O为△ABC的________心．2．在△ABC中，∠ACB90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．3．已知D为平面ABC外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角
形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即
S
2ABC

S2DAB

S2BDC

S2ADC
．
4．已知斜线AB和平面所成的角为1，BC，BC与AB所成的角为，BC与AB
在平面内的射影所成的角为2，求证：coscos1cos2．
5．如图933，在△ABC中，∠ABC90°，SA⊥平面ABC，点A在SB、SC上的射影分别为P、Q．求证：PQ⊥SC．
图933
6．如图934，在△ABC中，∠ACB90°，AB平面，点C，C在内的射影
为O，AC和BC与平面所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求CD与平面所成角的大小．
图934
f参考答案1．（1）外心．∵PAPBPC，∴OAOBOC，∴O是△ABC的外心．
（2）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA∠POB∠POC90°，∠PAO∠PBO∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OAOBOC，∴O为△ABC的外心．
（3）内心．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PDPEPF，得ODOEOF，∴O是△ABC的内心．（如图答923）
（4）垂心．
图答923
2．如图答924，设ACa，BCb，CDc，∵△ACD是Rt△，∴ADa2c2．∵
△ABC是Rt△，∴ABa2b2．∵△BCD是Rt△，∴BDb2c2．而在
△ABD中，cosBADAB2AD2BD2
a2
＞0，又∵∠BAD是
2ABAD
a2b2a2c2
三角形内角，∴0°＜∠BAD＜180°，∴∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴△ABD是锐角三角形．
图答924
f3．如图答925，设DAa，DBb，DCc，则SADB

12
ab
，SBDC

12
bc，SADC

12
ac
．在
△ABD中，作DM⊥AB于M，则DMab．∵CD⊥AD，CD⊥DB，∴CD⊥a2b2
平面ADB，∴
CD⊥DM．在
Rt△CDM
中，
CM
2

DM
2
CD2

c2

a2b2a2b2

a2b2b2c2c2a2，a2b2
∴
S2ABC
1ABCM22
1a2b2r