习题112计算下列各式的值2计算下列各式的值计算下列各式的值
3（2）i
解：Qi1cos
π
isi
22
π
π
∴wki1cos2
33
2kπ3
π
isi
2
2kπ3
k012
31∴w0cosisi
i66225π5π31w1cosisi
i6622w2cos3πisi
3πi
4（3）1
π
π
∴wk11cos∴w0cos
解：Q11cosπisi
ππ2kπ44
4
isi

π2kπ
4
k0123
22i44223π3π22w1cosisi
i4422isi
1
π
π
f5π5π22iisi
44227π7π22w3cosiisi
4422w2cos
6写出下列复数的三角式和指数式6写出下列复数的三角式和指数式写出下列复数的三角式和指数式（1）1i
1i2cosisi
2e解：44
4
π
π
π
i
（4）1cosθisi
θ0≤θ≤π解：
1cosθisi
θ2si

i2si
cos222θθθ2si
si
icos222θπθπθ2si
cosisi
2πθ22
2
θ
θ
θ
2si
e2
θ
i
2

2
f10设36ix59iy67i求其中的实数x10设和y解：
3x6xi5y9yi67i3x5y6x9yi67i
为实数，因为x和y均为实数，所以3x5y66x9y7所以
1xy13z23iz3i011解方程解方程：11解方程：
解：令zxiyxy∈R则代入方程得
xiy23ixiy3i0x2y23y3i2xy3x10x2y23y302xy3x10

由第二个方程知x≠0则由第二个方程得31y22x
3
f代入第一个方程得31231132x33222x22x4x4424x3x104x21x210
x210x±1x1x1131y32y122×122×1
所以
4x21≠0
z11iz212i
13求证：若点z1z2z3满足条件13求证：求证
z1z2z30且z1z2z31
则该三个点是内接于圆周z1的正三角形顶点的正三角形顶点证明：证明：因为
4
fz1z22z1z2z1z2z1z2z1z2z1z1z2z2z1z2z2z1z12z22z1z2z2z12z1z2z2z1
所以
1z32z1z22z1z2z1z2z1z2z1z2z1z1z2z2z1z2z2z1z12z22z1z2z2z12z1z2z2z1
所以
z1z2z2z11
所以
z1z23
同理可得z1z33z2z33所以
z1z2z1z3z2z3，
为正三角形的顶点，即z1z2z3为正三角形的顶点，又由z1z2z31
5
f知该三个点内接r