竞赛讲座07
面积问题和面积方法
基础知识
1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．
设△ABC，abc分别为角ABC的对边，ha为a的高，R、r分别为△ABC外接圆、
内切圆的半径，p1abc．则△ABC的面积有如下公式：2
（1）SABC

12
aha
；
（2）SABC

1bcsi
2
A
（3）SABCppapbpc
（4）SABC

1ra2
b
c

pr
（5）SABC

abc4R
（6）SABC2R2si
Asi
Bsi
C
（7）SABC

a2si
Bsi
C2si
BC
（8）SABC

12
rabc
a
（9）SABC

12
R2si
2Asi
2B
si
2C
2．面积定理
（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；
（2）两个全等形的面积相等；
（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；
（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的
比；
（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
（6）共边比例定理：若△PAB和△QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M，则
SPABSQABPMQM；（7）共角比例定理：在△ABC和△ABC中，若AA或AA180，则
1
fSABCABAC．SABCABAC
3．张角定理：如图，由P点出发的三条射线PAPBPC，设APC，CPB，
APB180，则ABC三点共线的充要条件是：
si
si
si
．
PBPA
PC
例题分析
例1．梯形ABCD的对角线ACBD相交于O，且SAOBm，SCOD
，求SABCD
例2．在凸五边形ABCDE中，设SABCSBCDSCDESDEASEAB1，求此五边形
的面积．
例3．G是△ABC内一点，连结AGBGCG并延长与BCCAAB分别交于DEF，△
AGF、△BGF、△BGD的面积分别为40，30，35，求△ABC的面积．例4．PQR分别是△ABC的边ABBC和CA上的点，且BPPQQRRC1，求
△ABC的面积的最大值．例5．过△ABC内一点引三边的平行线DE∥BC，FG∥CA，HI∥AB，点
DEFGHI都在△ABC的边上，S1表示六边形DGHEFI的面积，S2表示
△
ABC的面积．求证：
S1

23
S2
．
例6．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线
分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证：S2T．
例7．锐r