高中数学题
（空间几何部分）
1已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC60°，PBPDAB2，PAPC，AC与BD相交于点O．（1）求证：PO⊥底面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）若M是PB上的一点，且CM⊥PB，求PMMB的值．
证明：（1）∵AC∩BDO∴BODOAOCO∴PO是△PBD和△PAC的中线又PBPD∴PO⊥BDPAPCPO⊥AC等腰三角形底边的中线与高重合
∴PO⊥面ABCD（2）作OE⊥CD于E连PE作OF⊥PE于F作OG∥BP交PD于G连FG则OF⊥面PCD∠OGF为PB与面PCD所成的角设为αAC2OD√3OE√32PO1PE√72
OFPOOEPE√217OGPB21si
αOFOG√2173作BN⊥PC于N则△PBN∽△CPMPOCO1PC√2PBBC2BN√142CMPE√72也可根据面积计算PM12MBPBPM32PMMB13
f2如图在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD垂直底面Q为AD中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝确定t的值1若点M是棱PC的中点，求证PA∥平面BMQ；（2）求证：平面PQB平面PAD；（3）若二面角M
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AD＝1，CD＝
3设PM＝tMC，若二面角MBQC的平面角的大小为30度，试
BQC为300，设PMtMC，试确定t的值
证明：（1）在PBQBAB上分别取中点EFG连接MFEG，EMGF，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，BC＝于是有：GF∥
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AD＝1，∥BC且BC，
1AD∥BC且BC三角形中位线定理，同理，EM2
所以，四边形EMFG是平行四边形，所以，EG∥MF，而EG∥PA且所以，MF∥PA，又MF
1PA，2
平面BMQ，所以，PA∥平面BMQ
分析：做这类题目，无论如何必须想方设法在平面内找出一条直线与平面外已知直线PA平行，问题才能得证（2）证明：由已知条件得：QBCD是个矩形，且BQACDA90，
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AD，又已知平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，且所以PQAD，又平面PAD底面ABCDAD，PQ底面ABCD，BQ底面ABCD，所以PQBQ，BQ平面PQB，所
以，平面PQB
即BQ
平面PAD
证明平面与平面垂直，首先要证明一个平面内一条直线与另一平面垂直，再证明这个平面经过该条直线即可
f（3）平面PAD⊥底面，而PAD是正三角形，Q为AD中点，所以PQ⊥AD，PQ⊥底面ABCD，连接CQ，做MN⊥CQ，做NE⊥QB，连MEMN⊥CQ，PQ⊥CQ，所以MN∥PQMNPQCMCP11tMN√31t
而容易看到BCQD是矩形，NE⊥BQ，所以NE∥BCNEBCQNQCt1t二面角就是∠MENta
∠MENMNNE√31tt1t√3t所以t3凡与二面角有关的问题，必须清楚地知道：①二面角的大小是由二面角的平面角来衡量r