运用两点间的距离公式求最值
两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．
一、求函数的最值
例１求函数yx24x13x210x26的最小值．
分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：
yx22032x52012，易联想到两点间的距离公式，从而将代数
问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），
N5，1，Px，0．
则yx22032x52012
MPPN≥MN
5221325，即y≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴ymi
5．
评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．
例2求函数fx，yx2y2x12y2x2y12x12y12的
最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的
距离公式，则可简化解答过程．
解：如图2，fx，y表示在平面直角坐标系
中的动点Px，y到定点A0，0，B1，0，C0，1，
D1，1的距离之和．
而△APD中，PAPD≥AD，当且仅当点P在线段AD上时等号成立；△CPB中，PCPB≥BC，当且仅当点P在线段BC上时等号成立，
f所以PAPDPCPB≥ADBC22，当且仅当点Ｐ为AD与BC的交
点时，f（x，y）取得最小值2
2
，此时点
P
的坐标为

12

12

．
二、求距离的平方和的最值
例3已知点A2，1，B2，2，点Px0，y0满足y2x，求PA2PB2取得最小值时
点P的坐标．
分析：利用两点间距离公式将PA2PB2表示为fx，y的形式，再消元得一个关于
x（或y）的二次函数，最后求值．
解：由已知点Px0，y0满足y02x0，结合两点间的距离公式，得
PA2PB2x022y012x022y022
2x028x082y026y05
2x028x088x0262x05
10x0220x013
10x0123，
当x01时，PA2PB2取得最小值3，此时点P的坐标为（1，2）．
评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数
fx，y，然后通过消元转化为关于x（或y）的函数f（x）（或f（y）），再求解．
一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于r