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第四讲一元二次方程与二次函数
第一部分真题精讲
【1】已知：关于x的方程mx23m1x2m30．
⑴、求证：m取任何实数时，方程总有实数根；
⑵、若二次函数y1mx23m1x2m3的图象关于y轴对称．
①求二次函数y1的解析式；
②已知一次函数y22x2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；⑶、在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点5，0，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应
的函数值y1≥y3≥y2，均成立，求二次函数y3ax2bxc的解析式．
【2】关于x的一元二次方程m21x22m2x10（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点A1，1是抛物线ym21x22m2x1上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的
解析式；若不存在，请说明理由
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【3】已知P（3m和Q（1，m）是抛物线y2x2bx1上的两点．
（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2bx10是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线y2x2bx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．
【4】已知抛物线yax24ax4a2，其中a是常数．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若a2，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．5
【5】已知：关于x的一元二次方程m1x2m2x10（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线ym1x2m2x1总过x轴上的一个固定点；（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程m1x2m2x10有两个不相等的整数根，把抛物线ym1x2m2x1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
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第二部分发散思考
【思考1】已知关于x的一元二次方程2x24xk10有实数根，k为正整数
（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y2x24xk1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的
解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象
请你结合这个新的图象回答：当直线y1xbbk与此图象有两个公共点时r