2019年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1设正六边形ABCDEF的边长为1，则ABDCADBE

2双曲线
x2a2

y2b2
1的右焦点为F
，离心率为e，过点F
且倾斜角为3
的直线与该双曲线
交于点A、B，若AB的中点为M，且FM等于半焦距，则e
．
3满足abi6abi（其中abRi21的有序数组ab的组数是
．
4已知正四棱锥的高为
3，侧面与底面所成角为3
，先在内放入一个内切球O1，然后
依次放入球O2、O3、O4、，使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切，
则放入所有球的体积之和为
．
5设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概
率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止．记此时取出球的次数为，
则的数学期望为
．
6已知a为实数，且对任意k11，当x06时，6l
xx28xakx恒成立，
则a的最大值是
．
7已知数列a
满足：a
2
5


12



N
，其中x
表示不超过实数
x
的最大整

数．设C为实数，且对任意的正整数
，都有
1C．则C的最小值是
i1aiai2
．
8若正整数
使得方程x3y3z
有正整数解xyz，称
为“好数”，则不超过2019的
“好数”个数是
．
二、解答题：本大题3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9（本题满分16分）设点A的坐标为03，点BC为圆Ox2y225上的两动点，满
足BAC90，求ABC面积的最大值．
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f10（本题满分20分）设abc10
恒成立，求的最大值．
，为实数，使得
311a1b1c
abc
11（本题满分20分）已知函数fxxl
xax2aR．
（1）证明：当1
x3时，
f
xaxx23xex

1e2
；
（2）设函数Fxfxx1e有极小值，求a的取值范围．
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f2019高中数学联赛甘肃赛区试卷
一、填空题（每题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1已知函数fx1为奇函数，函数fx1为偶函数，且f02，则f4
．耐
心等待考试结束。
x1
2已知a0，xy满足约束条件xy3，若z2xy的最小值为1，则a
．

y

a

x

3
3
已知向量a
22cos2

b


m
m2

si

r