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考研线性代数笔记
1、行列式1
行列式共有
2个元素，展开后有
项，可分解为2
行列式；2代数余子式的性质：①、Aij和aij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3代数余子式和余子式的关系：Mij1ijAij4设
行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D11

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Aij1ijMij
D；
D；
将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D21将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；5行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积1

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将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；
；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；④、和：副对角元素的乘积1⑤、拉普拉斯展开式：

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；
AOACCAOAAB、1m
ABCBOBBOBC
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6对于
阶行列式A，恒有：EA
1kSk
k，其中Sk为k阶主子式；
k1

7证明A0的方法：①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；④、利用秩，证明rA
；⑤、证明0是其特征值；
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2、矩阵1
A是
阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；
rA
（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；bR
，Axb总有唯一解；
A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
ATA是正定矩阵；
A的行（列）向量组是R
的一组基；A是R
中某两组基的过渡矩阵；
2对于
阶矩阵A：AAAAAE无条件恒成立；3
A1A1
ABTBTAT
A1TAT1
ABBA
ATAT
AB1B1A1
4矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
A1若AA2，则：As
Ⅰ、AA1A2
A11Ⅱ、A1
1
As；
A
12
；1As
O；r