累乘法的应用
典型例题分析
1、数列a
中，a12
a
1
1a
求a
通项公式
解：方法一：
因为
a
1
1a

a
1所以a


1

a
则a
1


1

1
（2）
a22a11

1
将上式中的（1）（2）………（
1）化简得
a
a1

（
》2）
所以a
2

（
》2）
当
1时满足上式，所以a
2
方法二：
因为
a
1
1a

所以
a
1
1

a

，所以

a


为等差数列，首项为
a11

2
，公差为
0，所以
a

2
即a
2
总结：满足a
1与a
的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法
变式1：数列a
中，a12a23，
a
1
1a
求a
通项公式
f解：
解法一：
a
1


1a
，
a
1a


1

则a
2a
1
1

（1）

a31a22

2
将上述的（1）到（
2）个式子相乘化简的
a
1a2
1
（
》3）
3则a
1
（
》3）
a12a23，所以
a


2
1
2
方法二：
（
2）
1

a
1
1a
，所以当
2时
1a
为常数列，则
1a
3，所以
2
a


3

1
，又因为
a1

2
a


2
1
2
（
2）
1
变式2：数列a
中，a12
a
1
2a
求a
通项公式
解：
a
1
2a

a
1
2
a


则a
1a
1
1
（1）
a
1
a
2
2
（2）
fa
2
1a
3
3
a23a11
（3）
1
a
将上述的
1个式子相乘化简的a1


12
又因为a12，所以a

1

2，所以
2时，a

1
变式
3：已知数列a
中，a1

13
，前


项和S

与a

的关系是
S
2
1a

，试求
通项公式a
。
解：S
2
1a

1
s
1
12
3a
1
2
12式化简的
（2
1）a
2
3a
1，（
2）
即a
2
3a
12
1
（1）
a
12
5a
22
1
a21a15
将上述
1个式子累乘的
（2）
1
fa
a1

2
2


32
12

52
73112
375

32
12
1

2
a


1

2
12
1
（
）

a1

13
满足上式，所以
1a
（2
1）（2
1）
fr