全国高中数学联赛模拟试题（四）
第一试
一、选择题（每小题6分，共36分）：
1、函数fx
a2x2是奇函数的充要条件是xaa
（A）－1≤a＜0或0＜a≤1（B）a≤－1或a≥1（C）a＞0（D）a＜02、已知三点A－21、B－3－2、C－1－3和动直线l：y＝kx．当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是（A）点A在直线l上（B）点B在直线l上（C）点C在直线l上（C）点A、B、C均不在直线l上3、如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1D1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角C1都等于60°．这样的直线l可以做B1A1（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条DC4、整数的
C100两位质因数的最大值是200AB（A）61（B）67（C）83（D）975、若正整数a使得函数yfxx132ax的最大值也是整数，则这个最大值等于（A）3（B）4（C）7（D）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是（A）3844（B）3943（C）3945（D）4006
二、填空题（每小题9分，共54分）：
1、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、z＋12，A为直角顶点，且z＝2．设集合M＝mzm∈R，m∈N，P＝xx1＝m，m∈M．则集合P所有元素之和等于．22、函数fx＝si
x＋si
42x＋cosx的最大值与最小值之差等于．
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f3、关于x的不等式
x22a22xa24a70x2a24a5xa24a7




的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40给项目M投资一年，其余的60给项目N．预计项目M有可能获得19到24的年利润，N有可能获得29到34的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10而不大于总投资的15，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点ab在曲线arcsi
x＝arccosy上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2＋y2＝
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的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsi
b的取值范围
是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半r