第一讲
第一章有限元的基本根念
BasicCo
ceptsoftheFi
iteEleme
tMethod
11引言i
troductio
有限元FEM或FEA是一种获取近似边值问题的计算方法。边值问题bou
daryvalueproblems场问题fieldproblem是一种数学问题mathematicalproblems在所研究的区域，一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界。边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表一种物理模型。场变量是满足微分方程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值物理边界转化为数学边界。根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。
12有限元法的基本思路howdoesthefi
iteeleme
tmethodswork
有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。等截面直杆在自重作用下的材料力学解答
图11受自重作用的等截面直杆
图12离散后的直杆
受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位
长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。
NxqLx
dLxNxdxqLxdx
EA
EA
ux

0x
N
xdxEA

qEA
Lx

x22

1
1
fx

dudx

qLEA

x
x

Ex

qLA
x
等截面直杆在自重作用下的有限元法解答
1离散化
如图12所示，将直杆划分成
个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之
间的连接点为结点，称每个有限段为单元。
第i个单元的长度为Li，包含第i，i1个结点。2用单元节点位移表示单元内部位移
第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，
ux

ui

ui1uiLi
x

xi
2
其中ui为第i结点的位移，xi为第i结点的坐标。第i个单元的应变为i，应力为i，
内力为Ni：
i

dudx

ui1uiLi
3
i

Ei

Eui1uiLi
4
Ni

Ai

EAui1Li
ui
5
3把外载荷集中到节点上把第i单元和第i1单元重量的一半qLiLi1，集中到第i1结点上。2
图13集中单元重量
2
f4建立结点的力平衡方程对于第i1结点，由力的平衡方程可得：
Ni

Ni1

qLi
2
Li1
6
令i

LiLi1
，并将5代入得：
ui
1iui1
iui2

q12EA
1i
L2i
7
根据约束条件，u10。对于第
1个结点，
N


qL
2
u


u
1

qL2
2EA
111
建立所有结点的力平衡方程，可以得到由
1个方程构成的方程组，可解出
1个未知的接点位移。
121有限元解与解析解的比r