课程编号：A073122
北京理工大学20112012学年第一学期
线性代数A试题A卷
11111一、（10分）已知3阶矩阵A11满足AX2A2X，其中A是A111
的伴随矩阵求X。
x12x2x31二、（10分）对下面线性方程组2x1x2x32x5x5x231
试讨论：当取何值时，它有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。（用导出组的基础解系表示通解）三、（10分）已知线性空间Fx4的自然基为1xxx。1证明：xxxxxx1x为Fx4的一个基；
323233
23
2求自然基1xxx到基xxxxxx1x的过渡矩阵
23323233
3求hx12x4x6x在后一个基下的坐标。
23
四、10分已知
11111210103212142211
（1）求向量组1234的秩和一个极大无关组（2）用所求的极大无关组线性表出剩余向量。五、（10分）设矩阵A的Jorda
标准形为
1616J01010
1试写出A的初等因子；2求A的特征值。
1
f六、（10分）在R3中定义线性变换：x1x2x32x1x2x2x33x1。求在R的自然基123下的矩阵。
3
七、（10分）设A为22的实矩阵，证明：A的特征值都为实数的充要条件为
trAA。（其中trA为A的迹，即A的主对角元之和）2
122T八、（10分已知实二次型fx1x2x3XAX，其中A212。221
1求一正交变换XQY，将二次型fx1x2x3化为标准形2判断二次型fx1x2x3是否正定。九、（10分）已知线性方程组A
Xb对任何b的取值都有解的充要条件是A
为可逆阵。十、（10分）设A相似于对角阵，0是A的特征值，X0是A对应于0的特征向量，证明：1秩A0I秩A0I2；2不存在Y，使得A0IYX0；
2
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