向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，
当＝0时，a0，注意：a≠0。
1
f五．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAaOBb，AOB
0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝时，
2a，b垂直。
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量abcos叫做a
与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量
积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3．b在a上的投影为bcos，它是一个实数，但不一定大于0。
4．ab的几何意义：数量积ab等于a的模a与b在a上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：
①abab0；
②当a，b同向时，a

b＝
a
b
，特别地，a2
aa
2
a
a

2
a
；当a
与b
反向时，a

b
＝
－ab；当为锐角时，ab＞0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝
角时，ab＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；③非零向量a，b夹角的计算公式：cosab；④abab。ab



例3如（1）△ABC中，AB3，AC4，BC5，则ABBC_________
（2）已知a11b01cakbdab，c与d的夹角为，则k等于____
2
2
4
（3）已知a2b5ab3，则ab等于____
（4）已知ab是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____





例4已知a3，b5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______



例5（1）已知a2，b32，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______
（2）已知
OFQ
的面积为
S
，且

OF

FQ

1，若
1

S

3
，则

OF

FQ
夹角
的取值范围是
。
22
六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之
外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABaBCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；
②向量的减法：用“三角形法则”：设ABaACb那么abABACCA，由减向量的终
点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
2．坐标运算：设ax1y1bx2y2，则：①向量的加减法运算：abx1x2，y1y2。
②实数与向量的积：ax1y1x1y1。
2
f③若Ax1y1Bx2y2，则ABx2x1y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线
段r