应力状态单向应力状态图82c。单向应力状态也称为简单应单向应力状态简单应力状态，其它的称为复杂应力状态复杂应力状态。力状态复杂应力状态本章主要研究平面应力状态，并讨论关于材料破坏规律的强度理论。从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的基础。c
平面应力状态的应力分析解析法§82平面应力状态的应力分析解析法
yσyτyσxτxτyτxdσyabσxxαfae
yσyb
αcexσxτxαdτyσycyσαταft
αx
τyσy
图83一、斜截面应力设ef为一与单元体前后截面垂直的任一斜截面，其外法线
与x轴间的夹角（方位角）为α（图82b），简称为α截面，并规定从x轴到外法线
逆时针转向的方位角α为正值。α截面上的正应力和切应力用σα和τα表示。对正应力σα，规定以拉应力为正，压应力为负；对切应力τα，则以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。假想地沿斜截面ef将单元体截分为二，取efd为脱离体，如图83c所示。根据
b分别有cd根据切应力互等定律有e
f将式（b）分别代入式c和d，经整理后有8182利用三角关系
f即可得到
8384上列两式就是平面应力状态（图83a）下，任意斜截面上应力σα和τα的计算公式。例题81图a为一平面应力状态单元体，试求与x轴成30○角的斜截面上的应力。解：由图可知则由公式133及134可直接得到该斜截面上的应力
y20yσ30°30°3030°30单位：MPa20a例题81图cx301030°τ30°
30°°x
二、主应力和主平面将式83对α取导数
（a）令此导数等于零，可求得σα达到极值时的α值，以α0表示此值
fb即
85由此式可求出α0的相差90°的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以σmax表示，另一个面上的是极小值，以σmi
表示。利用三角关系：
c将式135代人上两式，再回代到式133经整理后即可得到求σmax和σmi
的公式如下：
86式中根号前取“”号时得σmax，取“－”号时得σmi
。若把式136的σmax和σmi
相加可有下面的关系：89即：对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应力不变量，并可用此关系来校核计算结果。用完全相似的方法，可以讨论切应力τα的极值和它们所在的平面。将式84对α取导数，得
a令导数等于零，此时τα取得极值，其所在的平面的方位角用ατ表示r