2011年高考数学最后压轴大题系列函数与导数
1已知函数
yx1，yx22x2t，y
11txx0的最小值恰好是方程2x
x3ax2bxc0的三个根，其中0t1．
（1）求证：a2b3；
2
（2）设x1M，x2N是函数fxx3ax2bxc的两个极值点．若x1x2
2，求函数fx的解析式3
解：（1）三个函数的最小值依次为1，1t，1t，………………………2分由f10，得cab1∴fxx3ax2bxcx3ax2bxab1
x1x2a1xab1，
故方程x2a1xab10的两根是1t，1t．故1t1ta1，1t1tab1．……………………………5分
1t1t2a12，即22ab1a12
∴
a22b3．………………………………………………………………………7分
2
（2）①依题意x1x2是方程fx3x2axb0的根，故有x1x2
2
2ab，x1x2，33
且△2a12b0，得b3．由x1x2x1x24x1x2
2
2a23b23b…………………………10分33
223b；得，b2，a22b37．33
由（1）知1t1ta10，故a1，∴
a7，cab173
f∴
fxx37x22x73．………………………………………………14分
13x2ax23a2xb0a1bR3
2设函数fx
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的xa1a2不等式f′（x）≤a恒成立，求a的取值范围解：（Ⅰ）fxx24ax3a2令fx0得fx的单调递增区间为（a3a）令fx0得fx的单调递减区间为（－，a）和（3a，）∴当xa时，fx极小值当x3a时，fx极小值b（Ⅱ）由fx≤a，得－a≤－x24ax－3a2≤a①（7分）∵0a1，∴a12a∴fxx24ax3a2在a1a2上是减函数∴fxmaxfa12a1fxmi
fa24a4于是，对任意xa1a2，不等式①恒成立，等价于（9分）（4分）（1分）
33ab4
（6分）
a4a44解得a15a2a1
又0a1∴
4a15
（12分）
3已知函数．fx2x3ax与gxbx2cx的图r