近世代数习题解答
第三章
环与域
1加群、环的定义
1
证明本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的证若S是一个子群
则abSabS
0是S的零元即0aa
对G的零元0aa00

即0s0aaS若abSabS
aSaS
今证S是子群由abSabSS对加法是闭的适合结合律由aSaS而且得aa0S再证另一个充要条件若S是子群abSabSabS反之aSaa0S0aaS故abSababS
2
R0abc加法和乘法由以下两个表给定
0abc0abc0abca0cbbc0acba0

0abc
0abc000000000abc0abc
证明R作成一个环证
R对加法和乘法的闭的
对加法来说由29习题6R和阶是4的非循环群同构且为交换群乘法适合结合律xyzxyZ事实上当x0或xaA的两端显然均为0当xb或xcA的两端显然均为yz
f这已讨论了所有的可能性故乘法适合结合律两个分配律都成立xyzxyxz
yzxyxzx
事实上第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样只看x0或xa以及xb或xc就可以了至于第二个分配律的成立的验证由于加法适合交换律故可看
y0或ya可省略z0za的情形的情形此时两端均为zx
剩下的情形就只有
bbx0bxbxxx0ccx0cxcxxx0bcxax0bxcxxx0
R作成一个环
2交换律、单位元、零因子、整环
1证明二项式定理
ab
a
1a
1bb

在交换环中成立证用数学归纳法证明当
1时显然成立假定
k时是成立的
kabkak1ak1bikakibibk
看
k1
的情形abab
k
kak1ak1bikakibibkabkabk1ak111akbikik1aki1bibk1kak111akbik1ak1ibibk1
因为k1kk1rrr即二项式定理在交换环中成立
2
假定一个环R对于加法来说作成一个循环群证明R是交换环证设a是生成元
则R的元可以写成

a

整数

ama
ama
maa
ma2ma
am
a2
f3．证明对于有单位元的环来说加法适合交换律是环定义里其他条件的结果利用abr