《
高
等
数
学
2
》
答
案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）123456789
101112
注意：请将选择题答案填入以上表格，不填或多填均视为零分！
二、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）
13已知

a
2
，
b
10
，且
a
b
12
，求

a
b

解：
a
b
a

b
cos
，即12
102cos
，解得cos

3
，（3
分）
5
则si
1cos24，（2分）5

a
b
a


b
si

10
2
4

16（3
分）
5
14过点
2
0
1
且与直线
4x2y3z90

2x

3y

z

6

0
平行的直线方程
解：
1423，
2231（1分）
ijk

1
24
2
23
3
34i
12
34j
12
2k7i2j8k（3分）3
231
令所求直线的方向向量为：s728（2分）
则所求直线方程为：x2yz1（2分）728
15设zusi
v，uxyvx2y，求z和z．xy
解：由链式法则：zzuzv（2分）xuxvxsi
vyucosv1（1分）
ysi
x2yxycosx2y（1分）
zzuzv（2分）yuyvy
fsi
vxucosv2（1分）xsi
x2y2xycosx2y（1分）
16设zzxy是由方程si
z3zx2y31确定的隐函数，求全微分dz．
解：方程变形：si
z3zx2y310（1分）
令Fxyzsi
z3zx2y31（1分）
则Fx2xy3，Fy3x2y2，Fzcosz3（2分）
zFx2xy3，zFy3x2y2（2分）xFzcosz3yFzcosz3
dzzdxzdy2xy3dx3x2y2dy（2分）xxcosz3cosz3
17交换二次积分的积分次序并计算：I

dy
si
xdx．
0
yx
解：由题意，DX型区域：
Dxy0x0yx（2分）
I

dx
xsi
xdy（2分）
0
0x
si
xxdxsi
xdx（2分）
0x
0
cosx0112（2分）
18求微分方程xdyyl
y0的通解．dx
解：分离变量：1dy1dx（2分）yl
yx
两边积分：

y
1l

y
dy


1x
dx
（2
分）
化简：l
yC1x，即l
yC1x（2分）令CC1，则通解为：l
yCx（2分）19求微分方程yyex的通解．
解：令Px1，Qxex（2分）由一阶线性微分方程的通解公式：
fyePxdxQxePxdxdxC（2分）exexexdxC（2分）
exxC（2分）三、证明题（本题8分）20设zxsi
xy，证明：xzyzx
xy证明：z1ycosxy（2分）
xzxcosxy（2分）y则左边x1ycosxyyxcosxyxxycosxyyxcosxy（2分）x右边（2分）
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