第十五讲
勾股定理和平行四边形提高讲义
【例1】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB】
＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2CD2CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2BN2CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。
图①
图②
图③
⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。
⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明）
变式1．如图所示，矩形ABCDO为对角线的交点，P为CD边上一点，OQ⊥OP交BC边于点Q．
（1）①如图1，当点P与D点重合时，有：BQCQCD；222②如图2，当点P与C点重合时，有：BQCQCD；请从①、②中任选一个证明；
222
（2）如图3，若点P在CD边上（不与点C、D重合），则线段BQ、CQ、CP、DP之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
AO
DP
AO
D
AO
DP
B
图1
Q
C
B
Q
图2
CP
B
Q
图3
C
第1页共3页
f（3）如图4，若矩形ABCD为正方形，P为AB边上一点，其它条件不变，完成图4，判断线段BQ、CQ、CP、DP之间有何数量关系？写出你的结论（不需要证明）
A
D
PB
图4
C
变式2、已知，点O为矩形ABCD的对称中心，过O点的直线L交直线AD于M，ON⊥OM交直线DC、
于N，连MN，现将直线L绕点O顺时针旋转。（1）如图1，当点M、N分别在边AD、CD上时，AM2、MN2、CN2之间的数量关系为；
（2）如图2，当点M、N分别在边AD及CD的延长线上时，请写出AM2、MN2、CN2之间的数量关系式，并予以证明。
（3）如图3，当点M、N分别在边AD、DC的延长线上时，（2）中结论是否仍成立？若成立，请直接写出其关系并予以证明，若不成立，请说明理由。
第2页共3页
f，D【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线yx5交x轴于A，交y轴于B，点P（0，1）是线段】AB上一动点，DC⊥y轴于点C，反比例函数y（1）若C为BP的中点，求k的值。
k的图象经过点D。x
（2）DH⊥DC交OA于H，若D点的横坐标为x，四边形DHOC的面积为y，求y与x之间的函数关系式。
（3）将直线AB沿y轴正方向平移a个单位（a5），交x轴、y轴于E、F点，G为y轴负半r