数学竞赛辅导讲座：高斯函数
知识、方法、技能
函数yx，称为高斯函数，又称取整函数它是数学竞赛热点之一定义一：对任意实数xx是不超过x的最大整数，称x为x的整数部分与它相伴随的是小数部分函数yxxxx由x、x的定义不难得到如下性质：（1）yx的定义域为R，值域为Z；yx的定义域为R，值域为01（2）对任意实数x，都有xxx且0x1（3）对任意实数x，都有xxx1x1xx（4）yx是不减函数，即若x1x2则x1x2，其图像如图I－4－5－1；yx是以1为周期的周期函数，如图I－4－5－2
图Ⅰ451
图Ⅰ452
（5）x
xx
x其中xR
N



（6）xyxyxxyxyxixixiR；特别地，
i1
i1

a
a
b
b
1
f


（7）xyxy，其中xyR；一般有xixixiR；特别地，
i1
i1

x
xxR
N
（8）xx，其中xR
N

【证明】（1）（7）略
（8）令xmmZ，则mxm1，因此，
mx
m1由于
m，




m1N，则由（3）知，
mx
m1于是，mxm1故xm



证毕
取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论
定理一：xR
N，且1至x之间的整数中，有x个是
的倍数

【证明】因xxx1即x
xx1
，此式说明：不大于x而是






的倍数的正整数只有这x个：

2
x

定理二：在
！中，质数p的最高方次数是
p

pp2p3
【证明】由于p是质数，因此
含p的方次数p
一定是1，2，…，
1
各数中
所含
p的方次数的总和由定理一知，1，2，…，

中有
个p
p
的倍数，有


p2

个
p2
的
倍数，…，所以
p



p




p2



此定理说明：
pp
M，其中M不含p的因数例如，由于7200020002000
7
72
…285405330，则2000！7330M，其中7M
定理三：（厄米特恒等式）xR
N则xx1x2x
1
x





【证法1】引入辅助函数
2
ffx
xxx1x2x
2x
1因fx1…








fx对一切xR成立，所以fx是一个以1为周期的周期函数，而当x01时，



直接计算知fx0，故任意xR，厄米特恒等式成立
【证法2】等式等价于
xxx1x
1
x
x消去




x后得到与原等式一样的等式，只不过是对x01，则一定存在一个k使得
k1xk，即k1
xk，故原式右端
xk1r