正弦定理和余弦定理
abc1．正弦定理：si
A＝si
B＝si
C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：1a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C；2a＝2Rsi
_A，b＝2Rsi
_B，c＝2Rsi
_C；abc3si
A＝2R，si
B＝2R，si
C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝a2＋b2－c2＝2ab111abc13．S△ABC＝2absi
C＝2bcsi
A＝2acsi
B＝4R＝2a＋b＋crR是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角b2＋c2－a2a2＋c2－b2，cosB＝，cosC2bc2ac
图形关系式解的个数
a＜bsi
A
a＝bsi
A
bsi
A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
无解
一解
两解
一解
一解
无解
一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsi
A＞si
B
f两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边，求其它边或角；2已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况2中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角求第三边和其他两角；2已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：1化边为角；2化角为边，并常用正弦余弦定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于A．52106C3B．102D．56．
解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，ac由正弦定理得：si
A＝si
C，即10c106＝∴c＝3答案3222C
si
AcosB2．在△ABC中，若a＝b，则B的值为A．30°B．45°C．60°D．90°
．
解析由正弦定理知：si
AcosB答案si
A＝si
B，∴si
B＝cosB，∴B＝45°B．
3．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于A．30°B．45°C．60°D．75°
b2＋c2－a21＋4－31解析由余弦定理得：cosA＝2bc＝＝，2×1×22
f∵0＜A＜π，∴A＝60°答案
C．
14．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝3，则△ABC的面积为A．33B．23C．43D3
122解析∵cosC＝3，0＜C＜π，∴si
C＝3，1122∴S△ABC＝2absi
C＝2×32×23×3＝43答案C5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，a2＋b2－c23∴cosC＝2ab＝－2，故C＝150°为三角形的最大内角．答案考向一150°
利用正弦定理解三角形
【例1r