高中数学第一章导数及其应用16微积分基本定理课堂探究新人教A版选修22
探究一利用微积分基本定理计算定积分1．求函数fx在某个区间上的定积分时，要注意：1掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解导数等于被积函数的原函数．当这个原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数以及常数的和或差．2精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．2．常见函数的定积分公式1234567


ba
Cdx＝CxbaC为常数．x
dx＝x
＋1ba
≠－1．
＋1
si
xdx＝－cosxbacosxdx＝si
xba11
bababa
ba
x
dx＝l
xbab＞a＞0．
xx


ba
edx＝eba
ba
adx＝
x
ax
l
a
baa＞0且a≠1．
【典型例题1】计算下列定积分：1234
21
x＋2x＋3dx；cosx－edx；dx；
3
2
0π
x
e1
1
x
31
2x－1dx2
x
思路分析：根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．
1322解：1∵x＋x＋3x′＝x＋2x＋3，3
∴

21
13222x＋2x＋3dx＝x＋x＋3x13
f8125＝＋4＋6－＋1＋3＝333
2∵si
x′＝cosx，e′＝e，∴
xx

0π
cosx－edx＝si
x－e0π
xx
0－π
＝si
0－e－si
－π－e13∵l
x′＝，
1＝π－1e
x
∴

e1
1
x
edx＝l
x1＝l
e－l
1＝1
32x－112114∵2＝2x－2且x＋′＝2x－2，
x
x

x
x
∴

31
32x－1213122＝x＋1＝9＋－2＝xx233
探究二分段函数与复合函数定积分的求解1．在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间a，b上的积分分成几段积分和的形式．分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分段即可．2．当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解与复合函数的求1导区分开来．例如：对于被积函数y＝si
3x，其原函数应为y＝－cos3x，而其导数应为3
y′＝3cos3x
【典型例题2】计算下列定积分：1

52
x－3dx；
2
x，x≤0，2若fx＝cosx－1，x0，
求

π21
fxdx；
34


120
10
edx；2dx2x＋1
2x
思路分析：12写成分段函数，利r