第27卷第4期
文章编号10032284320010420473202
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西南民族学院学报然科学版自
Nov2001
多元函数凸性的判断及应用
冯艳青
常州师范专科学校数学系江苏常州213004
希望使读者对函数的凸性有一个较全面的认识和理解摘要论述了多元函数凸性的判断及应用希望使读者对函数的凸性有一个较全面的认识和理关键词多元凸函数二阶偏导数矩阵Hesse矩阵正定矩阵中图分类号O17413文献标识码A函数的凸性是函数性质之一在最优化问题中有着重要的应一元函数的凸性在在最优化问题中有着重要的应用《数学分析》《中已有详细的论述而多元函数的凸性在书中并没有提及因此本文立足于多元函数凸性的判断及应用以期能使读者对函数的凸性有一个较完整的认识和理解
1多元凸函数的有关概念及两个判定定理
1凸集的定义设DR
对ΠX1∈DX2∈D数λ∈01X1及X2为
维向量若均有λX11λ2∈D则称D为凸集即如果D中X
的任意两点X1X2的连线也在D内则称D为R
中的一个凸集多元凸函数的定义可由一元凸函数的定义推广得到多元凸函数的定义可由一元凸函数的定义推广得2凸函数的定义设DR
为非空凸集ΠX1∈DX2∈Dλ∈01若fλX11λX2≤fX1λ1λfX2则fX为D上的凸函数若上述为严格不等式则fX是D上的严格凸函数我们可以从函数的梯度和二阶偏导数矩阵Hesse矩阵来判断多元函数的凸性定理1设fX为凸集DR
内可微函数则fX为D内的凸函数的充要条是对ΠX∈DXΔX∈TDfXΔX≥fxfxΔX其中5f5x1
x1x2x1X

x

X
x2x

fXgradfX
5f5x25f5x

Xx1x2x
T
对Πα∈证明必要性设fX为D内凸函数对01恒有fαXX1αX≤αXX1αfXfXfXαXfXα令α从正趋向于0则limΔfXαXfX
α→0
≤fXXfX
fXTΔX所以
α
fXTX≤fXXfX充分性设ΠX∈DXΔX∈D有fXΔX≥fXfxTΔX成立设X1X2∈D令XαX11α20α1则X
fX1≥fXfXTX1XfX2≥fXfXX2X
T
1
2
收稿日期2001209201
常州师范专科学校数学系讲师作者简介冯艳青1969女常州师范专科学校数学系讲
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西南民族学院学报然科学版自
第27卷
α×11α×2式得α11α2≥fXfTαX1X1α2X1fXXXfX或即α11α2≥fαX11αX2fXfX∴fX是D内的凸函数
内的二次可微函数则fX为D内的凸函数的充要条件fX的二阶偏导数矩内的凸函数的充要条件为定理2fX是定义在r