20092017全国高中数学联赛分类汇编第10讲：平面几何
1、（2009二试1）如图，M，N分别为锐角三角形ABC（A
B
⌒、AC⌒的中点．过）的外接圆上弧BC
点C作PC∥MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．⑴求证：MPMT
NPNT
；
≠A
⌒（不含点）上任取一点Q（Q⑵在弧ABC求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
PNITAQ
A
，T，B），记AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，
CM
N
P
CMIT
PN
CMII2
B
B
I1A
BT
Q
【解析】⑴连NI，MI．由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形．因此NP
MC
，PM
NC
．
连AM，CI，则AM与CI交于I，因为
MICMACACIMCBBCIMCI
，所以MC
MI
．
同理NC于是NP
NIMI
．，PM
NI
．
S△PNT
故四边形MPNI为平行四边形．因此S△PMT又P，N，T，M四点共圆，故TNP
S△PMT12PMMTsi
PMTS△PNT12
（同底，等高）．，由三角形面积公式
12PNNTsi
PMT
PMT180
PNNTsi
PNT
于是PM
MTPNNT
．
又因I1NT故NTI1
QNTQMTI2MT
，有I1NT
∽I2MT
．
MTI2
，从而I1QI2
NQMNTMI1TI2
．
因此Q，I1，I2，T四点共圆．学科网
2、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段
fAK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
A
O
B
EKD
C
P
Q
NM
同理QK
2
QO
2
2
r
2
KO
2
2
r
2
，
所以POPK
2
QO
QK
2
，
故OK⊥PQ．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
AQQNAPPM

．①
由梅内劳斯（Me
elaus）定理，得
NBBD
MCCD

DEEA
DEEA

AQQN
APPM
1，②
1．③NBBDMCCD
由①，②，③可得
，所以
NDBD

MDDC
，故△DMN∽△DCB，于是DMNDCB，所以BC∥MN，
故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而ABDC四点共圆注1：“PK
2
P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
PKKFAKKE，④
则P，E，F，A四点共圆，故
fPFEPAEBCE，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PKPFPEPC，⑤
⑤④，得
PK
2
．PEPCAKKEP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）
注2：r