习题二
21质量为m的子弹以速率v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与
速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：1子弹射入沙土后，速度大小随时间的
变化关系；2子弹射入沙土的最大深度。
解设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受
的阻力
fkv
1由牛顿第二定律
fmamdvdt
即
kvmdv
dt
所以
dvkdt
vm
对等式两边积分
vdvkt
dt
v0v
m0
得
l
vkt
v0m
因此2由牛顿第二定律
即所以对上式两边积分得到即
kt
vv0em
fmamdvmdvdxmvdvdtdxdtdx
kvmvdvdx
kdxdvm
k
s
0
dxdv
m0
v0

km
s

v0
smv0k
22质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kvk为常数。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为
v

mgk
F
1
kt
em

fF0
证明任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
mgFfmamdvdt
ymg
21
f即整理得
mgFkvmamdvdt
dv
dt
mgFkvm
对上式两边积分
v
dv
tdt

0mgFkv0m
得
l
mgFkvkt
mgF
m
即
v

mgk
F
1
kt
em

23跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即Fkv2。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率vT。
解设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为vT，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
此时
mgkvT2
即有牛顿第二定律
整理得
mgvTkmgkv2mdv
dtdvdtmgkv2m
对上式两边积分
vdvtdt1
0mgkv20m2mgk
整理得
得
l
mgkvt
mgkvm
2t
vemkg12temkg1
2t
mgk
e
mkg2t
1vT
emkg1
22
f24一人造地球卫星质量m1327kg，在离地面h185106m的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：1卫星所受向心力f的大小；2卫星的速率v；3卫星的转动周期T。
解卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力
fGM地m
Reh2
gGM地Re2
由上面两式得fmgRe2132798
63781032
782103N
Reh2
63781031851062
2由牛顿第二定律
v2fm
Reh
vfReh7821036378103185106696103ms
m
1327
3卫星的运转周期
T2Reh26378103185106743103s2h3mi
50s
v
696103
25试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。解设同步卫距地面高度为h，距地心为Rh，则
GMmmr2r2
GMmmgR2
所以
GMgR2
代入第一式中解得
r


gR22
1
3
2727105rads243600r