高中数学解析几何问题研究
x2y218题1Letpoi
tMmovealo
gtheellipse9a
dpoi
tFbeitsrightfocus
the
forfixedpoi
tP62the
maximumof3MFMPiscoordi
ateofMisellipse椭圆；focus焦点；coordi
ate坐标（第十四届高二第二试第18题）wherethe
x2y218译文：点M是椭圆9上一点，点F是椭圆的右焦点，点P（6，2），那么3MFMP
的最大值是，此时点M的坐标是yMMQPF3O1369lxDG
x2y218解在椭圆9中，
a9b8，则c1c1，
222
所以椭圆的右焦点F的坐标
c1ea3，为（1，0），离心率
lx
右准线
a29c，显然点P
x2y218（6，在椭圆92）的外部过点P、分别作PG⊥l于G，MMD⊥l于D，过点P作PQ⊥MD
于Q，由椭圆的定义知，3MFMPMDMP≤MDMQQDPG963，当且仅当点P位于线段MD上，即点P与Q点重合时取等号由点P位于线段MD上，MD⊥l及点P（6，2），
2x04321x0x即（x2）则有982，知点M的纵坐标为2，M的横坐标为0，M0，，设，解得
322，2）因此3MFMP的最大值是3，此时点M的坐标是（
评析若设点M的坐标为xy，则可将3MFMP表示成x、y的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3MFMP转化为MDMP，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程拓展将此题引伸拓广，可得
x2y221ab02b定理M是椭圆E：a上的动点，F是椭圆E的一个焦点，c为椭圆E的
1
f半焦距，P（m
）为定点
a21m若点P在椭圆E内，则当F是右焦点时，eMFMP的最小值是c；当F是左焦a21m点时，eMFMP的最小值是c
若点P在椭圆E外，则
a2a21mF是右焦点，且0≤m≤c，
≤b时，eMFMP的最大值是ca2a21mcF是右焦点，且mc，
≤b时，MPeMF的最小值是a2a21mF是左焦点，且c≤m≤0，
≤b时，eMFMP的最大值是ca2a21mcF是左焦点，且m≤c，
≤b时，MPeMF的最小值是
1简证1、如图1，作MN⊥右准线l于N，PQ⊥l于Q，由椭圆定义，MNeMF
a21mm∴eMFMPMNMP≥PQc，当且仅当P、M、Q三点共线，且M在P、Q之间a21m时取等号如图2，同理可证eMFMPMNMP≥PQc，当且仅当P、M、Q三
yMPOmFMNNQxFll图1如图3，图2mOxQMMP点共线，且M在P、Q之间时取等号y
1eMFMPMNMP≤MNMRRNP
2
fa2mQc，当且仅当P位于线段MN上，即P与R重合时取等r