材料力学（土）笔记
第五章梁弯曲时的位移
1．梁的位移挠度及转角为研究等直梁在对称弯曲时的位移取梁在变形前的轴线为x轴，梁横截面的铅垂对称轴为y轴而xy平面即为梁上荷载作用的纵向对称平面梁发生对称弯曲变形后，其轴线将变成在xy平面内的曲线AC1B度量梁变形后横截面位移的两个基本量是挠度：横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x轴方向的线位移ω转角：横截面对其原来位置的角位移θ梁变形后的轴线是一条光滑的连续曲线，且横截面仍与该曲线保持垂直因此横截面的转角θ也就是曲线在该点处的切线与x轴之间的夹角度量等直梁弯曲变形程度的是曲线的曲率梁的变形还受到支座约束的影响通常就用这两个位移量来反映梁的变形情况梁轴线弯曲成曲线后，在x轴方向也将发生线位移但在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，梁变形后的轴线是一条平坦的曲线横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可略去不记因此在选定坐标后，梁变形后的轴线可表达为
ωfx式中，x为梁在变形前轴线上任一点的横坐标；ω为该点的挠度
梁变形后的轴线称为挠曲线，在线弹性范围内，也称为弹性曲线上述表达式则称为挠曲线（或弹性曲线）方程由于挠曲线为一平坦曲线，故转角θ可表达为
θ≈ta
θωfx

称为转角方程即挠曲线上任一点处的切线斜率ω可足够精确地代表该点处横截面的转角θ由此可见，求得挠曲线方程后，就能确定梁任一横截面挠度的大小，指向及转角的数值正值的挠度向下，负值的挠度向上正值的转角为逆时针转向，负值的转角为顺时针方向
2．梁的挠曲线近似微分方程及其积分为求得梁的挠曲线方程，利用曲率κ与弯矩M间的物理关系，即
κ
1
式中曲率κ为度量挠曲线弯曲程度的量，是非负的这是梁在线弹性范围内纯弯曲情况下的曲率表达式在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩M外尚有剪力FS但工程用梁，其跨长l一般均大于横截面高度的10倍剪力FS对于梁位移的影响很小，可略去不计，故该式子依然适用
ρ

MEI
式中的M和ρ均为x的函数，即
κx
1MxEIρx
在数学中，平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有
f1ω±1ω232ρx
取x轴向右为正，y轴向下为正时曲线凸向上时ω为正，凸向下时为负而按弯矩的正、负号规定，梁弯曲后凸向下时为正，凸向上为负，符号相反于是得到

ωMx2321ωEI2由于梁的挠曲线为一平坦曲线，因此，ω与1相比十分微小可以略去不计
故上式可近似r