中国矿业大学《高等数学》（上）期中试卷
分钟）（2010级统考考试时间100分钟）2010班级1（10分）求极限lim
x→0
姓名
学号
成绩
1xsi
xcosxx2
2（10分求极限lim
x→∞
ex1arcta
xex1
2
3（10分）已知当x→0时，exax2bx1是比x高阶的无穷小，求常数ab
xl
t4（10分）已知αyt
求
d
ydx
3
5（10分）求函数fx2x5x2在闭区间12上的最大值和最小值。6（10分）设yyx由2y32y22xyx21确定，求yyx的极值。7（10分）设函数fx
1xarcta
2x≠0x0x0
，讨论f′x在点x0处的连续性。
8（10分）设函数yfx在点a的某邻域内三阶可导，如果f′a0f′′a0
f′′′a≠0问xa是否为yfx的极值点？点afa是否为拐点？并说明理由。
9（10分）对任意实数x，证明不等式：1xl
x1x2≥1x2。10（8分）已知函数fx在0，1上连续，在（0，1）内可导，且f00，f11。证明：（1）代数方程fxx10至少存在一个实根；（2）存在两个不同的点ξ1ξ2∈01使得f
′ξ1f′ξ21
中国矿业大学《高等数学》（上）期中试卷参考评分标准
1（10分）求极限lim
x→0
1xsi
xcosxx2
1
f解
lim
x→0
1xsi
xcosx1xsi
xcosxlim22x→0xx1xsi
xcosx
3分

11xsi
xcosx1xcosx2si
x3limlim22x→02x→02x4x
x→∞
7分
2（10分求极限lim
ex1arcta
xex1
3分
解
x→∞
lim
ex1ππarcta
x1，xe122
ex1ππlimarcta
x1x→∞ex122
所以，lim
x→∞
3分
ex1πarcta
xxe12
2
4分
3（10分）已知当x→0时，exax2bx1是比x高阶的无穷小，求常数ab
exax2bx1ex2axb解由limlim0可得b1x→0x→02xx2
5分
由lim
ex2axbex2a1lim0可得ax→0x→02x22
x
5分
或：由e1x
x2ox2即可得结果。2
求
xl
t4（10分）已知αyt
解：
d
ydx
4分
dytα′αtα，dxl
t′
d2ydx2


αtα′α2tα，l
t′
α
tα
2
3分
d
ydx

3分
f5（10分）求函数fx2x5x在闭区间12上的最大值和最小值。
32
解由
f′x
10x1，得驻点x1和不可导点x0。33x
4分
2
f13f00f17f223，
最大值为f00，最小值为f17
3分3分
比较可得
6（1r