2015届江苏高考考前一周数学指导性复习资料
高邮中学导数与函数两题
题目1：已知fxl
xx1（xR），gxmx（Ⅰ）判断函数yfx的单调性，给出你的结论；（Ⅱ）设x0，讨论函数yfx的图象与直线gxmx1（m0）公共点的个数；（Ⅲ）若数列a
的各项均为正数，a11，在m2时，a
1fa
ga
2（
N），求证：a
2
1变式：求证：

1（m0）
1111（
N）1a11a21a
2
11x1，由fx0得x1xx当x01时，fx0；当x1时，fx0
解：（Ⅰ）求导fx所以函数yfx在01上是增函数，在1上是减函数（Ⅱ）当x0时，函数yfx的图象与直线gxmx1（m0）公共点的个数等
l
x21与直线ym（m0）公共点的个数xl
x21l
x11，则hx令hx，所以h02xxe11当x0时，hx0，hx在0上是增函数；ee11当x时，hx0，hx在上是减函数ee1所以，hx在0上的最大值为he10，e142且h210，he210ee
价于曲线y如图：于是
y
e1
x
O
1e
①当0me1时，函数yfx的图象与直线gxmx1（m0）有2个公共点；②当me1时，函数yfx的图象与直线gxmx1（m0）有1个公共点；③当me1时，函数yfx的图象与直线gxmx1（m0）有0个公共点（Ⅲ）由题意，正项数列a
满足：a11，a
1l
a
a
2由（Ⅰ）知：fxl
xx1f10，即有不等式l
xx1（x0）由已知条件知a
0，a
1l
a
a
2a
1a
22a
1，故a
112a
1，所以当
2时，0
1
a1a212，032，，a11a21
f0
a
11a1a12，0
2，以上格式相乘得0
2
1，又a11，故a
21a
11a11
（）a
12
，即a
2
1，对
1也成立所以有a
2
1（
N）理科生此题也可用数学归纳法证明证明如下：当
1时，a11211，即（）成立；假设
k时，ak2k1成立，那么，当
k1时，由（Ⅰ）知：fxl
xxr