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x0,递增,则Hx0
H00,即ex0
1al
x0
10,又Hx0
0,即ex0

a,令x01
a

11
1
e10
10
1,即
x0

110
1
,则e10

1111l
11

20001791
,故有10951000
10
e

20001791
.从而使得问题巧妙
获证.学科网
例3.设

(l)若
对一切恒成立,求的最大值;
f(2)是否存在正整数,使得
对一切正整数都成立?若存在,求的最小值;
若不存在,请说明理由.【思路引导】
(1)即在时,
,从而求的参数的范围,
,所以函数
,所

.(2)由(1)可知当时,

,取

,得


.累加可证到
.所以.
(2)设
,来源ZxxkCom

,令
得.
在时
,递减;在时
∴最小值为
,故




,递增.

,即
.学科网
累加得



f故存在正整数,使得

当时,取,有
,不符合.故.学科网
【同步训练】
1.已知函数fxex,gxax2x,(其中aR,e为自然对数的底数,e271828……).
2
(1)令hxfxgx,若hx0对任意的xR恒成立,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,设
m
为整数,且对于任意正整数




i1

i



m
,求
m
的最小值.
【思路引导】
(1)由hx0对任意的xR恒成立,即hx0,利用导数讨论函数的单调性,求出最小值,即可mi

得到实数a的值;(2)由(1)知exx10,即1xex,令xk(
N,k012
1)


0
1
k

k
e



所以
1
k




k
e



ek
,令k012


,1求和后利用放缩法可得

i
i1


2,从而可得m
的最小值.所以1
k




ke




ek

f(2)由(1)知exx10,即1xex,
令xk(
N,k012

1)则0
1
k


k
e

,所以1
k



ke



ek

所以

i
i1



1




2





1








e
1

e
2

e2

e1
1

11
e
e1

1
1e1

e112,所以e1e1

i
i1


2
,又

13
3



23
3

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