在
x0，递增，则Hx0
H00，即ex0
1al
x0
10，又Hx0
0，即ex0

a，令x01
a

11
1
e10
10
1，即
x0

110
1
，则e10

1111l
11

20001791
，故有10951000
10
e

20001791
．从而使得问题巧妙
获证．学科网
例3．设
．
（l）若
对一切恒成立，求的最大值；
f（2）是否存在正整数，使得
对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；
若不存在，请说明理由．【思路引导】
（1）即在时，
，从而求的参数的范围，
，所以函数
，所
以
．（2）由（1）可知当时，
即
，取
，
，得
，
即
．累加可证到
．所以．
（2）设
，来源ZxxkCom
则
，令
得．
在时
，递减；在时
∴最小值为
，故
，
取
，
，
，递增．
得
，即
．学科网
累加得
．
∴
．
f故存在正整数，使得
．
当时，取，有
，不符合．故．学科网
【同步训练】
1．已知函数fxex，gxax2x，（其中aR，e为自然对数的底数，e271828……）．
2
（1）令hxfxgx，若hx0对任意的xR恒成立，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，设
m
为整数，且对于任意正整数


，

i1

i



m
，求
m
的最小值．
【思路引导】
（1）由hx0对任意的xR恒成立，即hx0，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，即可mi

得到实数a的值；（2）由（1）知exx10，即1xex，令xk（
N，k012
1）

则
0
1
k

k
e


，
所以
1
k




k
e



ek
，令k012


，1求和后利用放缩法可得

i
i1


2，从而可得m
的最小值．所以1
k




ke




ek
．
f（2）由（1）知exx10，即1xex，
令xk（
N，k012

1）则0
1
k


k
e

，所以1
k



ke



ek
，
所以

i
i1



1




2





1








e
1

e
2

e2

e1
1

11
e
e1

1
1e1

e112，所以e1e1

i
i1


2
，又

13
3



23
3

r