在
x0,递增,则Hx0
H00,即ex0
1al
x0
10,又Hx0
0,即ex0
a,令x01
a
11
1
e10
10
1,即
x0
110
1
,则e10
1111l
11
20001791
,故有10951000
10
e
20001791
.从而使得问题巧妙
获证.学科网
例3.设
.
(l)若
对一切恒成立,求的最大值;
f(2)是否存在正整数,使得
对一切正整数都成立?若存在,求的最小值;
若不存在,请说明理由.【思路引导】
(1)即在时,
,从而求的参数的范围,
,所以函数
,所
以
.(2)由(1)可知当时,
即
,取
,
,得
,
即
.累加可证到
.所以.
(2)设
,来源ZxxkCom
则
,令
得.
在时
,递减;在时
∴最小值为
,故
,
取
,
,
,递增.
得
,即
.学科网
累加得
.
∴
.
f故存在正整数,使得
.
当时,取,有
,不符合.故.学科网
【同步训练】
1.已知函数fxex,gxax2x,(其中aR,e为自然对数的底数,e271828……).
2
(1)令hxfxgx,若hx0对任意的xR恒成立,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,设
m
为整数,且对于任意正整数
,
i1
i
m
,求
m
的最小值.
【思路引导】
(1)由hx0对任意的xR恒成立,即hx0,利用导数讨论函数的单调性,求出最小值,即可mi
得到实数a的值;(2)由(1)知exx10,即1xex,令xk(
N,k012
1)
则
0
1
k
k
e
,
所以
1
k
k
e
ek
,令k012
,1求和后利用放缩法可得
i
i1
2,从而可得m
的最小值.所以1
k
ke
ek
.
f(2)由(1)知exx10,即1xex,
令xk(
N,k012
1)则0
1
k
k
e
,所以1
k
ke
ek
,
所以
i
i1
1
2
1
e
1
e
2
e2
e1
1
11
e
e1
1
1e1
e112,所以e1e1
i
i1
2
,又
13
3
23
3
r