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向量法解立体几何
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
基本思路与方法
一、基本工具1数量积：ababcos2射影公式：向量a在b上的射影为ab
b
3直线AxByC0的法向量为AB，方向向量为BA
4平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系
1平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行
2垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直
三、用向量法解空间距离1点点距离
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点Px1y1z1与Qx2y2z2的
距离为PQx2x12y2y12z2z122点线距离
求点Px0y0到直线lAxByC0的距离：方法：在直线上取一点Qxy，
则向量PQ在法向量
AB上的射影PQ
Ax0By0C


A2B2
即为点P到l的距离
3点面距离
求点Px0y0到平面的距离：方法：在平面上去一点Qxy，得向量PQ，
计算平面的法向量
，
计算PQ在上的射影，即为点P到面的距离
四、用向量法解空间角
1线线夹角（共面与异面）
线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角
2线面夹角
求线面夹角的步骤：
①先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若
为钝角，则取其补角；
②再求其余角，即是线面的夹角
3面面夹角（二面角）
若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法
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向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角
实例分析一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线ab所成角θ，只要在两条异面直线
ab上各任取一个向量AA和BB，则角AABBθ或πθ，因为
θ是锐角，所以cosθAABB不需要用法向量。
AABB
1、运用法向量求直线和平面所成角
设平面α的法向量为
（xy1，则直
线AB和平面α所成的角θ的正弦值为
si
θcosθcosAB
2
α
AB
AB

A

2、运用法向量求二面角
设二面角的两个面的法向量为
1
2，则
1
2或π
1
2是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定
1
2是所求，还是π
1
2是所求角。
二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离


设异面直线a、b的公共法向量为
xyz，
在a、b上任取一点A、B，则异面r