古代数学的高峰
到了唐代，随着社会经济的高度发达，对解决实际计算问题的算术也提出了更高的要求，促进了算术的发展，为了加快计算速度，出现了不用纸和笔的珠算，算盘在宋代以后逐渐推广应用，成为当时世界上最先进的计算工具，沿用至今．
宋元两代，古代中国数学达到了一个新的水平．涌现出了以秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰等人为代表的一批数学大家和数量可观的数学著作，这些成果在当时处于世界领先的水平．
秦九韶与《数学九章》秦九韶（1202－1261年），南宋末年生于四川安岳，曾在湖北、江苏等地做官，虽仕途坎坷，在数学研究上却是成就卓著．其代表著作是《数学九章》，秦九韶在这本书中提出了“大衍求一术”和“正负开方术”（即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的数学创造．19世纪20年代初，英国人霍纳和意大利数学界为“霍纳方法”一种解任意高次方程的巧妙方法的发明权而争得不可开交，直到他们了解到有个叫秦九韶的中国人，早在570多年前就发现了这种方法时，这场争论才显得毫无意义了．秦九韶还有许多数学创造．他是世界上最早提出“十进小数”概念和表示法的人，这一成果比荷兰人斯蒂文要早三个世纪．他还独立地推导出已知三边求三角形面积的公式，与古希腊有名的海伦公式暗合．秦九韶是中世纪世界上最伟大的数学家之一，而《数书九章》则标志着中国古代数学的一个高峰．
李冶与“天元术”李冶（1192－1279年），河北正定人，是生活在金元之际的数学家，一生淡泊名利，长期过着隐居生活，潜心著述讲学，1248年他完成了《测圆海镜》，主要讲述根据给定直角三角形的边长求内切圆和旁切圆的直径的问题，他在此书中提出了“天元术”．所谓天元术就是根据问题的已知条件列出方程和解方程的方法．“天元”相当于未知数X．天元术的出现标志着我国传统数字中符号代数学的诞生．传说有个叫“洞渊老人”的世外高人教给他九个公式，都是关于直角三角形和圆的关系的．回到住处后，李冶反复地琢磨这些公式，觉得还可以大大发挥，于是他借助“天元术”这个刚刚发现的数学工具，推演出了五百多个公式，后来都写进了《测圆海镜》这部不朽的数学著作中．1259年李冶又写成《益古演段》，力图向读者通俗地解释天元术．蒙古灭宋之后，由于一位故友的大力举荐，李冶推脱不过，出山为官，被任命为翰林学士；但他就职还不到一年就以年老多病坚决告退了．关于此事，他曾在笔记中写道：“翰林学士要看皇帝的眼色写书，史馆的工作人员r