性方程的通解可表为xtcixit，其中c1c2c
是任意常数。i1
8、求
dydx
fxy满足
yx0

y0的解等价于求积分方程
x
yy0
x0
f
x
ydx
的解。
9、如果fxy在R上连续且关于y满足李普希兹条件，则方程dyfxy存在唯一的dx
解yx，定义于区间xx0h上，连续且满足初始条件x0y0，其中
hmi
ab，Mmaxfxy。
M
xyR
二、计算题每题10分共50分
10、求方程
dydx

1xy
y2x2y
的解。
解：原式可化为
dydx

1y2yxx2
分离变量得ydydx1y2x1x
35
f两边积分后
1l
1y22
l

x
l
1x
c1
即1y21x2cx2
故原方程的通解为1y21x2cx2
11、求方程dyxy2通过点10的第二次近似解。dx
解：令0x0
则
1xy0
x1
x

y02dx

xxdx1x21
1
22
2xy0
x1
x

12

xdx

x
x


1x2

12dx

1
x2

1
x51x31x11
1
22
2206430
12、求非齐线性方程xxsi
t的特解。
解：线性方程xx0的特征方程210，故特征根i。
又ftsi
t，i是特征单根，所以原方程有特解xtAcostBsi
t，将其
代入原方程得A1，B0。故原方程的特解为x1tcost。
2
2
13、求解恰当方程y3x2dx4yxdy0。
解：
M1，N1
y
x
则MNyx
所以此方程为恰当方程。
凑微分，ydxxdy3x2dx4ydy0
得x3xy2y2C
14、求伯努利方程dy6yxy2的通解。dxx
解：这是
2时的伯努利不等式，令zy1算得dzy2dy
dx
dx
45
f代入原方程得到
dzdx


6x
z

x，这是线性方程，求得它的通解为
z
cx6

x28
带回原来的变量y，得到1y
cx6

x28
或者
x6y

x88
c，这就是原方程的解。
此外方程还有解y0
三、证明（20分）
15、1试验证初值问题
x

21
14x
，

0



12

的解为

t


e3t
12

t1t1
22


2）求该微分方程组的expAt。
21）证明：p
1
14
2
6
9

0解得12
3此时
k1
1

2


12


v

t


e3t

1i0
tii

A

3E
i

12


e3t
12

t1t1
22
2）解：由公式expAtet
1tiAEi得
i0i
exp
At

e3t
E

tA

3E

e3t
10
011t1
11


e3t
1

t
t
t
1

t

55
fr