柯西不等式练习题
1
设
a、b、c
为正数，求

a

b

c


4a

9b

36c

的最小值。
2设xyzR且x2y2z25，则x2y3z的最大值为
，此时x
y
z
3设xyzR且x2y2z24，则x2y2z的最大值为
，最小值
4设xyzR且2xy2z6，则x2y2z2的最小值为
，此时x
y
z
5设xyzR且2x3yz3，则x2y12z2的最小值为
，此时y
6设xyzR且2x2yz80，则x12y22z32的最小值？此时x、y、z的取值？
7已知xyR，3x2y26，求2xy的最值
8设2x3y5z29，求函数y2x13y45z6的最大值
9若abcdR且满足
，则
最大值为
证明题：
1设a、b、c为正数且各不相等，求证：2229abbccaabc
2a、b为非负数，ab1，x1x2R，求证：ax1bx2bx1ax2x1x2
3若abc，求证：114abbcac
4若abcR，求证：abc3bccaab2
5若abcR，求证：a2b2c2abcbca
f排序不等式练习题
1设x1x2x
0a1a2a
0x1x2x
1，则a1x12a2x22a
x
2的最小值为
2设
x1
x2
x3
是不同的自然数，则
S

x11

x24

x39
的最小值为
3设a1a2a
为实数，求证：a1c1a2c2a
c
a12a22a
2其中c1c2c
是a1a2a
的任一排列。
4已知abc为正数，用排序不等式证明：2a3b3c3a2bcb2acc2ab
5设abc为正数，求证：abc3（本题用均值、柯西、排序不等式都能证明）bccaab2
6设
a1

a2

a

为1
2
3


的一个排列，
求证：
12

23


1a1a2
a2a3
a
1a

7设a1a2a
为正数，求证：
a1a2

a2a3


a
1a


a
a1
a1a2

a

8设
a1

a2

a

是


个互不相等的正整数，
求证：
12

23


1


a1

a222

a332


a
2
9设c1c2c
为正数组a1a2a
的某一排列，证明：
a1c1

a2c2

a
c

10
设
a1
a2

a

为正数，分别用柯西不等式、排序不等式证明：
a12a2
a22a3

a2a2


1
a



a1
a1a2
a

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