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母题十四
分段函数恒成立问题
【母题原题1】【2018天津，文14】
x22xa2，x0，已知aR，函数fx2若对任意x3fxx恒成立，则a的取值范围是x2x2a，x0．
__________．【答案】128【解析】试题分析：由题意分类讨论x0和x0两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果．
2试题解析：分类讨论：①当x0时，fxx即：x2x2ax，整理可得：a
121xx，由恒成22
立的条件可知：a
121xxx0，2max2
综合①②可得a的取值范围是12．8【名师点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）afx恒成立afxmax；（2）afx恒成立afxmi
．有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【母题原题2】【2017天津，文8】
x2x1x已知函数fx设aR，若关于x的不等式fxa在R上恒成立，则a的取值范围是22xx1x
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（
）
（A）22（B）232（C）223（D）2323zxxk【答案】A【解析】满足题意时fx的图象恒不在函数y选项；
xa下方，当a23时，函数图象如图所示，排除C，D2
当a23时，函数图象如图所示，排除B选项，
故选A选项．【母题原题3】【2016天津，文14】
x24a3x3ax0x已知函数fx且关于x的方程fx2恰有a0且a1在R上单调递减，3logax11x0
两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________．
12【答案】．33
【解析】由函数fx在R上单调递减得
x4a31300a13a1a，又方程fx2恰有3234
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两个不相等的实数解，3a2
1212116a，a的取值范围是．a3733
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对r