程化为标准方程，容易求出abc．引导学生用双曲线的实半轴长、
虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐
小学初中高中努力大学
f小学初中高中努力大学
近线是yax．b
扩展：求与双曲线x2y21共渐近线，且经过A233点的双曲线的标准方及离心169
率．
解法剖析：双曲线x2y21的渐近线方程为y3x．①焦点在x轴上时，设所求的
169
4
双曲线为x216k2
y29k2
1，∵A
2
3
3
点在双曲线上，∴k21，无解；②焦点在y轴4
上时，设所求的双曲线为x2y21，∵A216k29k2
33点在双曲线上，∴k21，因4
此，所求双曲线的标准方程为y2x21，离心率e5．这个要进行分类讨论，但只有一
94
3
4
种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为x2y2mmRm0．
169
例4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它
的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为
x2a2

y2b2
1，算出abc的值；此题应注意两点：①注意建立直
角坐标系的两个原则；②关于abc的近似值，原则上在没有注
意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在P处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA或PB送到呈矩形的足球场ABCD中去铺垫，已知AP150m，BP100m，
BC60m，APB60．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”
线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设M为“等距离”线上任意一点，则PAAMPBBM，
即BMAMAPBP50（定值），∴“等距离”线是以A、B为焦点的双曲线的
左支上的一部分，容易“等距离”线方程为x2y2135x250y60．理
6253750
小学初中高中努力大学
f小学初中高中努力大学
由略．
例5如图，设Mxy与定点F50的距离和它到直线l：x16的距离的比是常数5，
5
4
求点M的轨迹方程．
分析：若设点Mxy，则MFx52y2，到直线l：x16的距离
5
dx16，则容易得点M的轨迹方程．5
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
若点Mxy与定点Fc0的距离和它到定直线l：xr