2015年全国各地高考数学试题分类汇编:数列
1(15北京理科)设a
是等差数列下列结论中正确的是A.若a1a20,则a2a30C.若0a1a2,则a2a1a3【答案】C考点:1等差数列通项公式;2作差比较法
2a
,a
≤18,2(15北京理科)已知数列a
满足:a1N,a1≤36,且a
12a
36,a
18
B.若a1a30,则a1a20D.若a10,则a2a1a2a30
….
1,2,
记集合Ma
N.(Ⅰ)若a16,写出集合M的所有元素;(Ⅱ)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.【答案】(1)M61224,(2)证明见解析,(3)8【解析】①试题分析:(Ⅰ)由a16,可知a212a324a412则M61224;(Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,用数学归纳法证明对任意
k,当k1时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果k1时,a
是3的倍数,因为ak2ak1或2ak136,所以2ak1是3的倍数,于是ak1是3的倍数,类似可得,
ak2a1都是3的倍数,从而对任意
1,a
是3的倍数,因此M的所有元素都
是3的倍数第二步集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由已知
2a
,a
≤18,a
1,用数学归纳法证明对任意
k,a
是3的倍数;第三步由于M2a
36,a
18
中的元素都不超过36,M中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由a
的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,由定义可知,a
1
f和2a
除以9的余数一样,分a
中有3的倍数和a
中没有3的倍数两种情况,研究集合M中的元素个数,最后得出结论集合M的元素个数的最大值为8
2a
,a
≤18,试题解析:(Ⅰ)由已知a
1可知:a16a212a324a4122a
36,a
18
M61224
(Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由已知
2a
,a
≤18,a
1,可用用数学归纳法证明对任意
k,a
是3的倍数,当k12a
36,a
18
时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果k1时,因为ak2ak1或2ak136,所以2ak1是3的倍数,于是ak1是3的倍数,类似可得,ak2a1都是3的倍数,从而对任意
1r