的常用方法；2由a1，d，
，a
，S
这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．解1由a
＝a1＋
－1d，a10＝30，a20＝50，
f得方程组
a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，
a1＝12，解得d＝2
所以a
＝2
＋10
－12由S
＝
a1＋d，S
＝2422
－1得12
＋×2＝2422解得
＝11或
＝－22舍去．探究点二等差数列的判定311例2已知数列a
中，a1＝，a＝2－
≥2，
∈N，数列b
满足b
＝
∈N．5
a
－1a
－11求证：数列b
是等差数列；2求数列a
中的最大值和最小值，并说明理由．例2解题导引1等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即a
－a
－1＝d常数
≥2，第二种是利用等差中项，即2a
＝a
＋1＋a
－1

≥2．
2．解选择、填空题时，亦可用通项或前
项和直接判断．1通项法：若数列a
的通项公式为
的一次函数，即a
＝A
＋B，则a
是等差数列．2前
项和法：若数列a
的前
项和S
是S
＝A
2＋B
的形式A，B是常数，则a
为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．111证明∵a
＝2－
≥2，
∈N，b
＝，a
－1a
－111∴当
≥2时，b
－b
－1＝－a
－1a
－1－111＝－a
－1－12－1a－－1
11＝1a
－1－1a
－1－115又b1＝＝－2a1－15∴数列b
是以－为首项，以1为公差的等差数列．2712解由1知，b
＝
－，则a
＝1＋2b
22＝1＋，设函数fx＝1＋，2
－72x－777易知fx在区间－∞，2和2，＋∞内为减函数．＝－∴当
＝3时，a
取得最小值－1；当
＝4时，a
取得最大值3探究点三等差数列性质的应用a
－1
f例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．
变式迁移已知数列a
是等差数列．1前四项和为21，末四项和为67，且前
项和为286，求
；2若S
＝20，S2
＝38，求S3
；3若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．例3解题导引本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m＋
＝p＋qm，
，p，q∈N，则am＋a
＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注
－1意运用；也可用整体思想把a1＋d看作整体．2解方法一设此等差数列为a
共
项，依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①a
＋a
－1＋a
－2＋a
－3＋a
－4＝146②根据等差数列性质，得a5＋a
－4＝a4＋a
－3＝a3＋a
－2＝a2＋a
－1＝a1＋a
将①②两式r