2014考研数学备考重点解析求函数极限的方法总结（一）
1、极限的定义【例】证明
lim
x2
x23x21x2
【解析】由
x23x2x24x41x2x2

x22
x2
x2
0，取，则当0x2时就有
x23x21x2
x23x2由函数极限定义万学海文，lim1x2x2
2、利用极限的四则运算性质
【例】求lim
x2
x23x5x4
【解析】
x23x5223255limx2242x4
3、利用无穷小量性质（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数fxgx满足：（I）limfx0
xx0
IIgxM则limgxfx0
xx0
M为正整数
【例】求
limxsi
x0
1x
且
【解析】由
limx0
x0
si

111，故原式limxsi
0x0xx
f4、利用两个重要极限
Alim
si
x1x0x
1Blim1xexx
但我们经常使用的是它们的万学海文变形：
si
x1x0x1xBlim1exxAlim
【例】求下列函数极限1lim
ax1x0x
2lim
l
cosaxx0l
cosbx
ax1ul
al
1u【解析】1令ua1，则x，于是；又，当x0时，u0，故而xl
1ul
a
x
lim
ax1ul
al
al
alimlimliml
a1x0u0l
1uu0l
1uu0xl
1uuu
l
1cosax1l
1cosbx1
2原式lim
x0
l
1cosax1cosbx1cosax1cosax1l
1cosbx1cosbx1cosbx1limx0cosax1asi
2x2a2b2si
2xxx2b22lim22lim2x0x0bbaa2si
2xsi
2xx2222b2x2lim
x0
5、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）
【例】求下列函数的极限
f1lim
excosx5x01x2l
1x
2
lim
l
1xx0x
【解析】1由于x0为初等函数fx
excosx5定义域内一点，故而由函数的连续性定义，有1x2l
1x
excosx5limf06x01x2l
1x
（2）由
l
1xl
1xx，令x1xx，则有x
1
1
lim
l
1xliml
1xxl
lim1xxl
e1x0x0x0x
11
6、变量替换
2x3x12x12x3x122x11【解析】由于limlim1x1令x2x1x2x12t
【例】求函数极限lr