2
32
3
12
，所以
J2
不可能为负值。
（c）可以，当S1S2S3中有一个正数，两个负数时J3为正值。
27（金晶）证明以下关系
（a）
J2
13
I12
I2
证明：
I1123
I2121332
I12
1
2
32
1
22
23
231
2
21
22
23
21
2
21
3
2
3
2
13
I12
I2
13
12
22
23
212
213
232
12
13
32
13
12
2
2
23
13
1
2
1
3
3
2
J2
16
1
22
1
32
3
2
2
13
21
22
23
13
12
13
3
2
J2
13
I12
I2
（b）
J3
I3
13
I1I2
227
I13
证明：
fI1123
I2121332
I3123
I1I2123121332
31
2
3
1
22
12
2
32
2
3
22
1
23
12
3
I3
13
I1I2
227
I13
1
23
13
31
23
1
22
12
2
32
2
3
22
1
23
123
227
1
2
3
3
19
1
2
2
12
2
32
2
3
22
1
23
12
3
227
13
32
33
49
1
2
3
J3
13
sij
s
jk
ski
sijijpij
同理sjkjkpjk
skikipki代入得
11p
sij
21
31
1222p
32
13
23
33p
s11ps22ps33p
p
13
1
2
3
代入下式
J3s1s2s31p2p3p
19
1
2
2
12
2
32
2
3
22
1
23
12
3
227
13
32
33
49
1
2
3
J3
I3
13
I1I2
227
I13
oct
（c）
32（I12
1
3I
）2
2
证明：
fI12
1
2
32
1
22
23
231
2
I2121332
I12
3I2
12
22
23
12
1
3
3
2
1
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2oct
49
1
22
2
3
2
2
2
1
32
2
49
I12
3I2
oct
32（I12
3I
1
）2
2
dJ2s1s2s3s2s1s3
证明：
J2
12
sijsji
12
s121
s222
s323
s12s21
s21s12
12
s12
s22
s32
12
s121
s222
s323
2122
2
223
2
231
s11s22
s33s22
s11s33
212
223
231
s1s2s3s2s1s3
29（梁健伟）证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。证明：设静水应力为ppp，从主方向的定义有ij
j
i，从给定的应力状态中减去静水应力得ijpij
jp
i，即：11p
112
213
3p
121
122p
223
3p
2
f31
132
233p
3p
3把等式右边的p
i移项到左边得11
112
213
3
121
122
223
3
231
132
233
3
3所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。
210（张东升）证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量S
。
证明：关于主应力轴，任意r
