高中数学难点高中数学难点22轨迹方程的求法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点●难点磁场★★★★已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线●案例探究［例1］如图所示，已知P4，0是圆x2y236内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解：设AB的中点为R，坐标为xy，则在Rt△ABP中，ARPR又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：Rt△OAR中，2AO2－OR236－x2y2在AR又ARPRx42y2所以有x－42y236－x2y2即x2y2－4x－100因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Qxy，Rx1y1，因为R是PQ的中点，所以x1代入方程x2y2－4x－100得
x4y0y122
x42yx424－100222整理得：x2y256这就是所求的轨迹方程［例2］设点A和B为抛物线y24pxp＞0上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线2000年北京、安徽春招命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目知识依托：直线与抛物线的位置关系错解分析：当设A、B两点的坐标分别为x1y1x2y2时，注意对“x1x2”的讨论技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系解法一：设Ax1y1Bx2y2Mxy依题意，有
f2y14px12y24px2y1y21x1x2yy1y21xx1x2y1y2yy1xx1x1x2
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