二项式定理
．二项式定理：
ab
C
0a
C
1a
1b
．基本概念：
C
ra
rbr
C
b
N，
①二项式展开式：右边的多项式叫做ab
的二项展开式。
②二项式系数展开式中各项的系数C
rr012
③项数：共r1项，是关于a与b的齐次多项式
④通项：展开式中的第r1项C
ra
rbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1C
ra
rbr表示。
．注意关键点：
①项数：展开式中总共有
1项。
②顺序：注意正确选择ab其顺序不能更改。ab
与ba
是不同的。③指数：a的指数从
逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到
，是升幂排列。
各项的次数和等于
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C
0C
1C
2C
rC

项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。
．常用的结论：
令a1bx1x
C
0C
1xC
2x2C
rxrC
x
N
令a1bx1x
C
0C
1xC
2x2C
rxr1
C
x
N
．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
C
0C
，C
kC
k1②二项式系数和：令ab1则二项式系数的和为
C
0C
1C
2C
rC
2
，
变形式C
1C
2C
rC
2
1。
③奇数项的二项式系数和偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令a1b1，则C
0C
1C
2C
31
C
11
0，
从而得到：C
0C
2C
4C
2rC
1C
3
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

C2r1



12
2

2
1
fax
C
0a
x0C
1a
1xC
2a
2x2C
a0x
a0a1x1a2x2a
x

xa
C
0a0x
C
1ax
1C
2a2x
2C
a
x0a
x
a2x2a1x1a0
令x1则a0a1a2a3a
a1
①
令x1则a0a1a2a3a
a1
②
①②得a0a2a4

a


a
1

2
a
1

奇数项的系数和
①②得a1a3a5

a


a
1

a2
1

偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数
是偶数时，则中间一项的二项式系数C
2取
得最大值。
如果二项式的幂指数
是奇数时，则中间两项的二项式系数

1

1
C
2C
2同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求abx
展开式中r