无理方程解法
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1．平方法解无理方程
例1解方程x7x1
分析：移项、平方，转化为有理方程求解．
解：移项得：x7x1
两边平方得：x7x22x1
移项，合并同类项得：x2x60解得：x3或x2检验：把x3代入原方程，左边右边，所以x3是增根．
把x2代入原方程，左边右边，所以x2是原方程的根．所以，原方程的解是x2．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
例2解方程3x2x33
分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．
解：原方程可化为：3x23x3
两边平方得：3x296x3x3
整理得：6x3142x3x37x
两边平方得：9x34914xx2
整理得：x223x220，解得：x1或x22．检验：把x1代入原方程，左边右边，所以x1是原方程的根．
把x22代入原方程，左边右边，所以x22是增根．所以，原方程的解是x1．
例3解方程
解移项得
f两边平方后整理得
再两边平方后整理得x2＋3x28＝0，
所以x14，x27．
经检验知，x27为增根，所以原方程的根为x4．
说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．
2．换元法解无理方程
例4解方程3x215x2x25x12
分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知
数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x215x33x25x1．因此，可以设x25x1y，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理．
解：设x25x1y，则x25x1y23x215x3y21原方程可化为：3y212y2，即3y22y50，解得：y1或y5．31当y1时，x25x11x25x0x1或x0；2当y5时，因为x25x1y0，所以方程无解．3检验：把x1x0分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是x1x0．
说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．
f例5解方程分析与解注意到2x21x23x22x22x3x2x2．
设则u2v2＝w2t2，①uvwt．②因为uvwt0无解，所以①÷②得uvwt．③②＋③得uw，即解得x2r