子化条件的积分指一个周期内的位移可看作振幅OA的四倍要决定振幅a注意在A或B点动能为0E
a
1mω2a21改写为2
2
2∫mωa2x2dx
h
a
积分得mωaπ
h
2
遍乘
乙法也是利用量子化条件大积分变量用时间t而不用位移x按题意振动角频率为ω直接写出位移x用t的项表示
1ω得2πhωE
hω2π
qxasi
ωt
求微分dqdxaωcosωtdt求积分pmxmaωcosωt将45代量子化条件
T
45
∫pdqmaω∫
22
0
cos2ωtdt
h
fT是振动周期T
2π
ω
求出积分得
mωa2π
h
E
hω
hω2π

123

正整数
2用量子化条件求限制在箱内运动的粒子的能量箱的长宽高分别为abc
解三维问题有三个独立量子化条件可设想粒子有三个分运动每一分运动是自由运动设粒子与器壁作弹性碰撞则每碰一次时与此壁正交方向的分动量变号如
p
x
→
p
x
其余分动量不变设想粒子从某一分运动完
成一个周期此周期中动量与位移同时变号量子化条件
∫pdq
xx
yy
x
h2
p∫
a
x0
b
dx2a
dy2b
p
x
123
2pxp2pz2总能量是y
∫pdq
zz
h2y
p∫
z0
y0c
p
z
y
∫pdq
h2p∫dz2cp
z
ppp
xy
z
都是常数总动量平方p
E
p2122pxpypz22m2m

1
xh2
yh2
zh22m2a2b2c
2
h
x2
y2
z28mabc但
x
y
z123正整数
f3平面转子的转动惯量为Ι求能量允许值解解释题意平面转子是个转动体它的位置由一坐标（例如转角）决定它的运动是一种
刚体的平面平行运动例如双原子分子的旋转按刚体力学转子的角动量Ι
ω但ω是角速度能量是EΙω2

利用量子化条件将p理解成为角动量q理解成转角一个周期内的运动理解成旋转一周则有
12
∫pdq∫
2ω
2π
0
Ιωd2πΙω
h
1
1说明ω是量子化的

h
h2πΙΙ

123……
2
12Ι
h2
2h23代入能量公式得能量量子化公式EΙω22Ι2Ι
3
4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动垂直于平面方向磁场是B求粒子能量允许值
解带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动设圆半径是r线速度是v用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是
Bevmv2cr
1
又利用量子化条件令p电荷角动量
q转角
2
∫pdq∫
即
2π
0
mrvd2πmrv
h
3
mrv
h
由12求得电荷动能
12Beh
mv22mc
再求运动电荷在磁场中的磁势能按电磁学通电导体在磁场中的势能
磁矩场强电流线圈面积场强evπr2Bvv是电荷的r