初中数学竞赛专题培训
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．例1如图243所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．
第十三讲梯形
分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC即BD的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设ABa，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知
分析因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明1EBDF；2EB不平行于DF．即证因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以ED∥BF．又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以ECDF．①又又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以
AFBFAB，
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BCABAC2AB2a，ECEB．②由于BCDB，所以，在Rt△BED中，由①，②EBDF．下面证明EB与DF不平行．若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EBDF．从而∠EBD30°直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理．在△CBD中，
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根据定义，EBFD是等腰梯形．例2如图244所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，ABAC且AB⊥AC，BDBC，AC，BD交于O求∠BCD的度数．例3如图245所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A90°，∠ADC135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：ADBF．
f或BC．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以AGABBG82821003664，所以AG8．这样S△ABES△AEFS△BEF可求．分析MF是DC的垂直平分线，所以NDNC．由AD∥BC及∠ADC135°知，∠C45°，从而∠NDC45°，∠DNC90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而ADBNBF．EF∥AD或BC，证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以NDNC．由已知，AD∥BC及∠ADC135°知∠C45°，过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，从而∠NDC45°．在△NDC中，∠DNC90°∠DNB，所以ABND是矩形，所以AF∥ND，∠F∠DNM45°．△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BNBF．又ADBN，所以ADBF．例4如图246所示．直角梯形ABCD中，∠C90°，AD∥BC，ADBCAB，E是CD的中点．若AD2，BC8，求△ABE的面积r