专题35导数与函数的零点
【考点聚焦突破】
考点一判断零点的个数
【例1】2019青岛期中已知二次函数fx的最小值为－4，且关于x的不等式fx≤0的解集为x－
1≤x≤3，x∈R．
1求函数fx的解析式；2求函数gx＝fxx－4l
x的零点个数．【答案】见解析
【解析】1∵fx是二次函数，且关于x的不等式fx≤0的解集为x－1≤x≤3，x∈R，
∴设fx＝ax＋1x－3＝ax2－2ax－3a，且a0
∴fxmi
＝f1＝－4a＝－4，a＝1
故函数fx的解析式为fx＝x2－2x－32由1知gx＝x2－2xx－3－4l
x＝x－3x－4l
x－2，∴gx的定义域为0，＋∞，g′x＝1＋x32－4x＝x－1x2x－3，令g′x＝0，得x1＝1，x2＝3当x变化时，g′x，gx的取值变化情况如下表：
X
0，1
1
1，3
3
3，＋∞
g′x
＋
0
－
0
＋
gx
极大值
极小值
当0x≤3时，gx≤g1＝－40，当x3时，ge5＝e5－e35－20－225－1－22＝90又因为gx在3，＋∞上单调递增，因而gx在3，＋∞上只有1个零点，故gx仅有1个零点．【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法1构建函数gx要求g′x易求，g′x＝0可解，转化确定gx的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号或变化趋势等，画出gx的图象草图，数形结
f合求解函数零点的个数．2利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值最值及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．【训练1】已知函数fx＝ex－1，gx＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝271828…1证明：函数hx＝fx－gx在区间1，2上有零点；2求方程fx＝gx的根的个数，并说明理由．【答案】见解析【解析】1证明由题意可得hx＝fx－gx＝ex－1－x－x，所以h1＝e－30，h2＝e2－3－20，所以h1h20，所以函数hx在区间1，2上有零点．2解由1可知hx＝fx－gx＝ex－1－x－x由gx＝x＋x知x∈0，＋∞，而h0＝0，则x＝0为hx的一个零点．又hx在1，2内有零点，因此hx在0，＋∞上至少有两个零点．h′x＝ex－12x－12－1，记φx＝ex－12x－12－1，则φ′x＝ex＋14x－32当x∈0，＋∞时，φ′x0，因此φx在0，＋∞上单调递增，易知φx在0，＋∞内至多有一个零点，即hx在0，＋∞内至多有两个零点，则hx在0，＋∞上有且只有两个零点，所以方程fx＝gx的根的个数为2考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数fx＝ax＋xlr