a2a11
将以上各式相加得a
a1123
1
1
1
1

1
a
a1
2
22
f又因为当

1，a1

2

1112

2成立，
∴a


2

12

N
5累乘法：已知a
1a


f
求a
，用累乘法：a


a
a
1
a
1a
2


a2a1

a1



2
。
例
已知数列a
满足a1

23
，a
1




1
a

，求
a


。
解：由条件知a
1
，分别令
123
1，代入上式得
1个等式累a
1
乘之，即
a2a3a4a
123
1a
1
a1a2a3
a
1234


a1

又a1

23
，a


23

例：已知a13a
13
a
求通项a

解：∵a
13
a

∴a
3
1，a
13
2，…，a23
a
1
a
2
a1
把以上各项式子相乘得
a

1
3132333
13123
132
a1

1
1
∴a
32
1111
又当
1时，a1323成立

1
1
∴a
32
6已知递推关系求a
，用构造法（构造等差、等比数列）。
（1）形如a
1pa
f
只需构造数列b
，消去f
带来的差异．其中f
有多种不同形式①f
为常数，即递推公式为a
1pa
q（其中p，q均为常数，pqp10）。
解法：转化为：a
1
t

pa

t，其中t

q1p
，再利用换元法转化为等比数列求解。
例已知数列a
中，a11，a
12a
3，求a

解：设递推公式a
12a
3可以转化为a
1t2a
t即a
12a
tt3故递推公式为
a
1
3
2a

3
令b


a

3，则b1

a1
3
4
且
b
1b


a
13a
3

2所以b
是以b1

4为首
项，2为公比的等比数列，则b
42
12
1
所以a
2
13
②f
为一次多项式，即递推公式为a
1pa
r
s
例．设数列a
：a14a
3a
12
1
2，求a

解：设b
a
A
B，则a
b
A
B，将a
a
1代入递推式，得
fb
A
B3b
1A
1B2
13b
13A2
3B3A1

B
A3A23B3A1

AB

11
取b
a
1…（１）则b
3b
1又b16，故b
63
123
代入（１）得a
23
1
备注：本题也可由a
3a
12
1a
13a
22
11（
3）两式相减得
a
a
13a
1a
22转化为b
pb
1q求之
③f
为
的二次式，则可设b
a
A
2B
C
（2）递推公式为a
1pa
q
（其中p，q均为常数，pqp1q10）。（或a
1pa
rq

其中p，qr均为常数）
解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
q

1
，得：
a
1q
1

pq
a
q


1q
引入辅助数列b
（其中b


a
q

），得：b
1

pqb


1q
再应用类型（1）的方法解决。
例
已知数列a
中，a1

56
a
1

13a



12


1
，求
a


。
解：在a
1

13
a


1
1两边乘以2
1得：2
12
a
1

23
2

a

1
令b


2

a

，则r