高考数学柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式a2b2c2d2acbd2abcdR当且仅当adbc时等号成立二、二维形式的柯西不等式的变式
1a2b2c2d2acbdabcdR当且仅当adbc时等号成立2a2b2c2d2acbdabcdR当且仅当adbc时等号成立
3abcdacbd2abcd0当且仅当adbc时，等号成立
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
当且仅当是零向量或存在实数k使k时等号成立
借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a2b2c2，并不是不等式的形状，但变成13121212a2b2c2就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：
2229abbccaabc
（2）重新安排某些项的次序：例2：a、b为非负数，ab1，x1x2R求证：ax1bx2bx1ax2x1x2（3）改变结构：例3、若abc（4）添项：
abc3bccaab2【1】设a212b6，则ab之最小值为________；此时b________。、答案：18424解析：abab∴ab18∴18ab18ab之最小值为18，此时b2a424【2】设a1，0，2，bx，y，z，若x2y2z216，则ab的最大值为【解】∵a1，0，2，bx，y，z∴a．bx2z由柯西不等式12022x2y2z2x02z2
求证：
114abbcac
例4：abcR求证：
。
516x2z245x4545a．b45，故a．b的最大值为45
【3】空间二向量a123，bxyz，已知b56，则1ab的最大值为多少？2此时b？A
s：128：2246
1
f4936【4】设a、b、c为正数，求abc的最小值。A
s：121abc
【5】设x，y，zR，且满足x2y2z25，则x2y3z之最大值为
解x2y3z2x2y2z21222325．1470∴
70【6】设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z之最小值为时，x，y，z2222222解x2y2zxyz1224．936xyz62∴x2yr