第二十五讲
整体的方法
我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．整体方法在代数式的化简与求值、解方程组、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．例题求解【例1】若x、z满足3x7yz1和4x10yz2001，y、则分式庆市竞赛题思路点拨原式
2000xyzx3y2000x2000y2000zx3y
的值为
．安
，视x3y与xyz为两个整体，对方程组进行整体改造．
b
4
【例2】若△ABC的三边长是a、c且满足a4b、则△ABC是B．直角三角形
c
4
bc
2
2
b，4
c
4
a
4
ac
2
2
c，4
a
4
b
4
ab
2
2
，
A．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
“希望杯”邀请赛试题思路点拨三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c的关系，不妨从整体叠加入手．【例3】已知x
119942
，求多项式4x3
1997x1994
2002
的值．
思路点拨直接代入计算繁难，由已知条件得2x1整体代入求值．
1994
，两边平方有理化，可得到零值多项式，
【例4】如图，凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中，∠Al∠A5，∠A2∠A6，∠A3∠A7，∠A4∠A8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．山东省竞赛题
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f思路点拨将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数
思路点拔若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行或一列中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．注由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，
更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．从整体上考r